二分的神奇边界

二分的思想主要分三种：

1. l和r代表的“成本值”均可行，且有一个ans变量记录当前的最优
2. l和r代表的“成本值”均可行，最后的答案是l或r
3. l代表的“成本值”可行，r不可行，最后的答案是l（不推荐使用，比较容易出错）

 

1、记录答案法

while (l<=r)
{
    int mid=(l+r)/2;
    if (judge(mid))
    {
        ans=mid;
        r=mid-1;
    }
    else l=mid+1;
}
printf("%d",ans);

分析：
judge(mid)是一个bool函数，返回mid是否可行，下面就是分情况讨论:
       <1>mid可行，此时记录ans=mid，也就是mid是目前最优解,然后缩小查找范围：r=mid-1，寻找有没有更小的解;
       <2>mid不可行，此时令l=mid+1，找更大的解来满足条件;
总结: mid可行，就记录mid，然后找有没有更优的，否则就退而求其次，牺牲数据的优秀度来满足条件

举例：要找出能够当飞行员的成绩最差的候选人，测试成绩居中的人，看他能不能胜任。

          <1>可以，记下他，然后对比他弱的人进行测试（ans=mid r=mid-1）;

          <2>不行，对比他强的人进行上述操作（l=mid+1）;

2、不记录法

while (l<r)
{
    int mid=(l+r)/2;
    if (check(mid)) r=mid
    else l=mid+1;
}
printf("%d",l); //r也可以

分析：

   当l==r时循环停止，此时无论输出l还是输出r都可以；取中点不讲。这里我们要保证l和r都是暂时可行的（没有证明不可行）的，
   所以当mid被判定为可行时，r应该取到mid而不是mid-1，因为这里没有ans来记录，如果r取了mid-1，我们就永远丢失了mid这个可行解（mid永远取不到了），从而导致答案错误。
注意：l和r都要暂时可行且l要极小，r要极大
举例：

*打个比方：一群选手按实力顺序排好，然后我们要找出能够AK IOI的实力最差的选手，那么我们选实力居中的那个，测试他能不能AK IOI：

1. 可以（check(mid)=true）。那么实力比他更强的选手可以回去了，因为他们一定能AK IOI，而且实力比刚刚测试的那位要高。但是那个测试过的就可以“暂时安全”，因为他是目前最优解（能AK且实力最差），这一个操作就是r=mid
2. 不能（check(mid)=false）。那么他以及实力比他弱的全部淘汰，这个操作是l=mid+1
   然后用新的区间不断重复即可

注：此处满足单调性，就是说如果X能AK IOI，那么比他强的也一定能，否则比他弱的一定不能**

再举个例子：

要找不能AK IOI的最强选手（注意，题设相反），那么照样按实力排好，测试居中的那个：

1. 可以（check(mid)=false）。此时他以及比他更强的都不能符合要求（我们要找不能AK的，不是AKer），所以r=mid-1
2. 不能（check(mid)=true）。此时比他弱的人全部淘汰（比他弱的更不能，而且实力比他弱），这个操作是l=mid
   之后就是对新的区间进行一样的操作

但是这个例子要注意一个特殊情况，如果l=2，r=3，mid=5/2=2，此时测试的check(mid)如果为true，那么l和r将永远卡在2和3，所以在此处，我们取的中点要靠右，也就是(l+r+1)/2，这样就能保证l和r不死循环

 

二分查找

   精确查找一个元素

int l=1,r=n;
while (l<=r)
{
    int mid=(l+r)/2;
    if (a[mid]==key) return mid;
    else if (a[mid]>key) r=mid-1;
    else l=mid+1;
}
return -1;

1>查找大于等于/大于key的第一个元素   

int l=1,r=n;
while (l<r)
{
    int mid=(l+r)/2;
    if (a[mid]>=key) r=mid; //如果要求大于，可以将=去掉
    else l=mid+1;
}
return l;

2>查找小于等于/小于key的最后一个元素

int l=1,r=n;
while (l<r)
{
    int mid=(l+r)/2;
    if (a[mid]<=key) l=mid; //如果求小于，可以去掉=
    else r=mid-1;
}
return l;