算法66------计算各个位数不同的数字个数【动态规划】

一、题目：计算各个位数不同的数字个数

给定一个非负整数 n，计算各位数字都不同的数字 x 的个数，其中 0 ≤ x < 10ⁿ 。

示例:

输入: 2
输出: 91 
解释: 答案应为除去 11,22,33,44,55,66,77,88,99 外，在 [0,100) 区间内的所有数字。

思路：动态规划

dp[i]表示 i 位数范围内【0，10^i】各位数字都不同的数字 x 的个数。

• 当 n = 1 时, 只有 0 符合条件, 当 n = 10 时, 0 - 9 符合条件 (10个);
•  当 n >= 2 时，记 f( n )为 [ 0, 10^n )范围内满足条件的数值个数，记 g( k ) 为 k位数中满足条件的数值个数， 则 f(n) = g(1) + g(2) + g(3) + ... +g(n) = f (n - 1) + g (n)，

而 g(n) 属于组合问题， g(n) = 9 * 9 * 8 * 7 *...... * (11 - n)，第一个“9”代表最高位上可选择的数为“ 1 ~ 9”九个，0 不可选，第二个“9”代表第二位上可选择的数为“0 ~ 9”中除去高位所选的其他九个数，依次类推，第 n 位上可选的数有 ( 11 - n ) 个。

即，dp[0] = 10,dp[0]表示n=1时，结果是10

dp[1] = 91，dp【1】表示n = 2时，结果为dp[0] + 9*9 = 91

dp[2] = 739,dp【2】表示n=3时，结果为dp[1] + 9 * 9 * 8 = 91 + 648 = 739

代码：

def countNumbersWithUniqueDigits(n):
    if n == 0:
        return 1
    dp = [0] * n
    dp[0] = 10
    for i in range(1,n):
        fi = 9
        for j in range(9,9-i,-1):
            fi *= j
        dp[i] = dp[i-1] + fi
    return dp[-1]
n =3
countNumbersWithUniqueDigits(n)