系统分类
线性系统
假设序列(x_1[n],x_2[n])通过离散时间系统(H)的输出为分别为序列(y_1[n],y_2[n]),即
[x_1[n]xrightarrow{H}y_1[n] quad x_2[n]xrightarrow{H}y_2[n]
]
若
[ax_1[n]+bx_2[n]xrightarrow{H}ay_1[n]+by_2[n]
]
那么称离散时间系统(H)为线性系统。
时(移)不变系统
假设序列(x[n])通过离散时间系统(H)的输出为分别为序列(y[n]),即
[x[n]xrightarrow{H}y[n]
]
若
[x[n-n_0]xrightarrow{H}y[n-n_0]
]
那么称离散时间系统(H)为时(移)不变系统。
如果离散时间系统(H)既满足线性系统，也满足时不变系统，那么称(H)为线性时不变(LTI)系统。
因果系统
因果系统指的是，离散时间系统在(n_0)的输出(y[n_0])只由(nleq n_0)的输入(x[n])决定。
因此，若输入为(x_1[n])和(x_2[n]),因果离散时间系统的响应为(y_1[n])和(y_2[n]),则
[x_1[n]=x_2[n], quad n < N
]
那么
[y_1[n]=y_2[n], quad n < N
]
稳定系统
如果对于任意的有界输入，产生的输出都是有界的，那么就称系统是稳定的。即对于所有的(n)值，有
[vert x[n]vert < B_x
]
则对于所有的(n)
[vert y[n]vert < B_y
]
这类稳定系统称为有界输入有界输出(BIBO)稳定系统。
LTI系统
输入输出关系
假设该LTI系统的单位冲激序列(delta[n])的响应为(h[n]),即
[delta[n]xrightarrow{H}h[n] quad or quad H{delta[n]}=h[n]
]
对于任意的输入序列(x[n])可以表示为
[x[n]=sum_{m=-infty}^{infty}x[m]delta[n-m]
]
则序列(x[n])的响应(y[n])为
[y[n]=H{x[n]}=H{sum_{m=-infty}^{infty}x[m]delta[n-m]}
]
由于该系统为线性系统，则上式可以写为
[y[n]=H{sum_{m=-infty}^{infty}x[m]delta[n-m]}=sum_{m=-infty}^{infty}x[m]H{delta[n-m]}
]
又由于该系统为时不变系统，那么(H{delta[n-m]}=h[n-m]),所以上式可以写为
[y[n]=sum_{m=-infty}^{infty}x[m]h[n-m]
]
我们把上式简写为
[y[n]=sum_{m=-infty}^{infty}x[m]h[n-m]=x[n]*h[n]
]
称运算(*)为卷积运算。
上述表达式说明，若已知LTI系统的单位冲激响应(h[n]),那么任意输入序列(x[n])通过与(h[n])卷积，即可得到其响应(y[n])。所以(h[n])可以用来描述LTI系统。
用冲激响应表示因果性条件
由输入输出关系
[y[n]=sum_{m=-infty}^{infty}x[m]h[n-m]
]
则(n=n_0)处的输出为
[y[n_0]=sum_{m=-infty}^{infty}x[m]h[n_0-m]=sum_{m=-infty}^{n_0}x[m]h[n_0-m]+sum_{m=n_0+1}^{infty}x[m]h[n_0-m]
]
由于因果系统的输出(y[n_0])只与(nleq n_0)的输入有关，所以上式的后面一项为(0),即
[sum_{m=n_0+1}^{infty}x[m]h[n_0-m]=0
]
由于输入的序列(x[n])是任意的，所以得到
[h[n_0-m]=0, 对任意m > n_0
]
即得到
[h[n]=0, n < 0
]
所以对于LTI系统，若
[h[n]=0, n < 0
]
那么该LTI系统是因果的。
用冲激响应表示稳定性条件
由输入输出关系
[y[n]=sum_{m=-infty}^{infty}x[m]h[n-m]
]
得到
[vert y[n]vert=vert sum_{m=-infty}^{infty}x[m]h[n-m]vert leq sum_{m=-infty}^{infty}vert x[m] vert vert h[n-m] vert
]
对于有界的输入(vert x[n] vert leq B_x),得到
[vert y[n] vert leq B_xsum_{m=-infty}^{infty}vert h[n-m] vert
]
所以当
[sum_{m=-infty}^{infty}vert h[n-m] vertxrightarrow{k=n-m}sum_{k=-infty}^{infty}vert h[k] vert < infty
]
(vert y[n] vert)有界。
所以对于LTI系统，若
[sum_{n=-infty}^{infty}vert h[n] vert < infty
]
则该系统是稳定的。