(Km)
Kuhn-Munkres算法
一种用于进行二分图完全匹配的算法
前
(pre)技能
匈牙利算法及增广路
标顶
对于图(G(Ucup V,E))。对于(xin U)，定义(Lx_i)。对于(iin V)。定义(Ly_i)。
这个玩意叫做标顶，是一种人为构造的数值。用于进行二分图完全匹配
可行标顶
对于所有的边，假设权值是(W),方向是(x o y)，则是算法执行中，恒定满足(Lx_x+Ly_ygeq W)
相等子图
相等子图包括(Ucup V),但只包括满足(W=Lx_x+Ly_y)的边
若相等子图有完全匹配，则原图有完全匹配
实现概括
通过更改标顶，找出相等子图。
实现具体
扩大相等子图
假设当前相等子图无法进行完全匹配，则至少有一个点(u),从其出发无法找到增广路
则我们需要修改标顶，使更多的边参与进来。
假设我们现在已经知道了一个(M),这个(M)是使其他边增加到相等子图的最小标顶修改量
然后我们令所有的(Lx_i)减去(M),所有的(Ly_i)加上(M)
正确性？
假设我们现在在相等子图中在(U)中已经被匹配的点(x),则我们规定(xin A),否则(xin A')
相似的，对于(xin V),若x已经被匹配上，则(xin B),否则(xin B')
对于一条边((x o y),权值（代价）是(W))
- 若(xin A,yin B)，仍满足(Lx_x+Ly_y=W)
- 若(xin A',yin B'),则为(Lx_x+Ly_ygeq W)，即是原本就不在交替路中的的依旧不在
- 若(xin A',yin B),则(Lx_x+Ly_y)增加，不会被添加进入
- 若(xin A,yin B'),则(Lx_x+Ly_y)有所减少，可能会被添加
其他
关于
若(xin A',yin B),则(Lx_x+Ly_y)增加，不会被添加进入
若(xin A,yin B'),则(Lx_x+Ly_y)有所减少，可能会被添加
对于上边这句，是为了保证在将一个点(x,xin U)进行匹配时，只会相应的引入(y,yin V)，而不会引入(U)中的点。
(M)如何计算？
(M)的大小取决于没有被加到相等子图中的最大边的大小，即是(Lx_x+Ly_y-W)
而这个我们在寻找增广路的时候就可以顺带更新。
其他
(M)的贪心选取保证了最大权。
个人理解是损失最小的代价，使其可以加入到相等子图
代码
using std::max;
using std::min;
const int maxn=500;
const int inf=0x7fffffff;
int M[maxn][maxn];
int m[maxn][maxn];
int lx[maxn],ly[maxn],mins[maxn],pat[maxn];
int S[maxn],T[maxn],tot;
int vis[maxn];
int n;
bool find(int x)
{
S[x]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(T[i]) continue;
int s=lx[x]+ly[i]-m[x][i];
if(!s)
{
T[i]=1;
if(!pat[i]||find(pat[i]))
{
pat[i]=x;
return true;
}
}
else
mins[i]=min(mins[i],s);
}
return false;
}
int KM()
{
for(int i=1;i<=n;i++) lx[i]=-inf;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
lx[i]=max(lx[i],m[i][j]),ly[i]=0;
memset(pat,0,sizeof(pat));
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
mins[j]=inf;
while(1)
{
memset(T,0,sizeof(T));memset(S,0,sizeof(S));
if(find(i)) break;
int Min=inf;
for(int j=1;j<=n;j++) Min=min(Min,mins[j]);
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(S[j]) lx[j]-=Min;
if(T[j]) ly[j]+=Min;
}
}
}
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
ans+=m[pat[i]][i];
return ans;
}