[BZOJ1415]聪聪和可可

数据的第1行为两个整数N和E，以空格分隔，分别表示森林中的景点数和连接相邻景点的路的条数。第2行包含两个整数C和M，以空格分隔，分别表示初始时聪聪和可可所在的景点的编号。接下来E行，每行两个整数，第i+2行的两个整数Ai和Bi表示景点Ai和景点Bi之间有一条路。所有的路都是无向的，即：如果能从A走到B，就可以从B走到A。输入保证任何两个景点之间不会有多于一条路直接相连，且聪聪和可可之间必有路直接或间接的相连。

输出1个实数，四舍五入保留三位小数，表示平均多少个时间单位后聪聪会把可可吃掉。

对于所有的数据，1≤N,E≤1000。
对于50%的数据，1≤N≤50。

Sample Input

9 9
9 3
1 2
2 3
3 4
4 5
3 6
4 6
4 7
7 8
8 9

Sample Output

2.167

题解:

本题是一道难度适中的概率dp,其实坑点误区全部在读题上.

首先,要注意"第一步没走到,可以再走一步";其次,还有"距离相等时走编号较小的点".

前者保证猫一定追的上老鼠,后者则是一个决策的限制,让我们不能瞎跑题目变的难了

既然有这个限制,n也很小,我们就可以考虑打个表预处理

设du[i]为每个点的度

对于猫在i点,鼠在j点的情况,设pre[i][j]为猫下一步到达的节点(即决策点)

再设twice为猫走第一步到pre[i][j]没捉到鼠第二步的决策,则twice=pre[pre[i][j]][j]

那么有如下情况:

1°i==j:f[i][j]=0;

2°pre[i][j]==j||twice==j:f[i][j]=1;

如果1°2°均不满足,则

3°f[i][j]=(f[twice][j]+sigma{f[twice][k],j和k间有连边}/(du[j]+1)+1

这样本题就被解决啦,方式当然是记忆化搜索

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
const int N=1010;
int n,m,st1,st2;
struct node{int zhong,next;}s[N<<1];
int e,adj[N],du[N],pre[N][N];
inline void add(int qi,int zhong){s[++e].zhong=zhong;s[e].next=adj[qi];adj[qi]=e;}
double f[N][N];
inline int spfa(int st)
{
    queue<int>q;
    int dis[N];bool vis[N];
    memset(dis,0x7f,sizeof(dis));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    q.push(st);pre[st][st]=st;dis[st]=0;
    while(!q.empty())
    {
        int rt=q.front();q.pop();
        for(int i=adj[rt];i;i=s[i].next)
        {
            int u=s[i].zhong;
            if(dis[u]>dis[rt]+1)
            {
                dis[u]=dis[rt]+1;
                if(rt==st)pre[st][u]=u;
                else pre[st][u]=pre[st][rt];
            }
            else if(dis[u]==dis[rt]+1&&pre[st][u]>pre[st][rt])
            {
                if(rt==st)pre[st][u]=u;
                else pre[st][u]=pre[st][rt];
            }
            if(!vis[u])vis[u]=1,q.push(u);
        }
    }
}
inline double dp(int st,int ed)
{
    if(st==ed)return f[st][ed]=0;
    int twice=pre[pre[st][ed]][ed];
    if(pre[st][ed]==ed||twice==ed)return f[st][ed]=1;
    if(f[st][ed])return f[st][ed];
    double k=1.0/(du[ed]+1);
    f[st][ed]=k*dp(twice,ed)+1;
    for(int i=adj[ed];i;i=s[i].next)
    {
        int u=s[i].zhong;
        f[st][ed]+=k*dp(twice,u);
    }
    return f[st][ed];
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&st1,&st2);
    int a,b;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&a,&b);
        add(a,b);add(b,a);
        du[a]++,du[b]++;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)spfa(i);//用spfa预处理决策pre[i][j] 
    printf("%.3lf",dp(st1,st2));
}