Stirling数（斯特林数）第一类Stirling数&第二类Stirling数

Stirling数（斯特林数）第一类Stirling&和第二类Stirling数

第一类Stirling数

• 定义

• 第一类Stirling数表示把$n$个不同元素构成$m$个圆的排列方案数，写作$s(n,m)$.
• 根据正负性分为无符号第一类Stirling数$s_u(n,m)$和带符号第一类Stirling数$s_s(n,m)$.
• 组合数学中的第一类Stirling数泛指无符号第一类Stirling数，在此，也只展开介绍无符号第一类Stirling数。

• 递推式

• 考虑$s_u(n,m)$可以由什么转移得到？
• 1、$s_u(n-1,m-1)$，由$n-1$个不同元素构成了$m-1$个圆，则第$n$个元素必须单独构成第$m$圆。方案数：
  $$s_u(n-1,m-1)$$
• 2、$s_u(n-1,m)$，由$n-1$个不同元素已经构成了$m$个圆，则第$n$个元素可以放在前$n-1$个元素中任意一个前面。方案数：
  $$s_u(n-1,m)\ast (n-1)$$
• 则可以得出递推式：
  $$s_u(n,m)=s_u(n-1,m-1)+s_u(n-1,m)\ast (n-1)$$

• 三角形

n	$s_u(n,m)$
0	1
1	0 1
2	0 1 1
3	0 2 3 1
4	0 6 11 6 1
5	0 24 50 35 10 1
…	…

• 性质

• 通过观察以上的三角形可以得到：
• 1、$s_u(0,0)=1$
• 2、$s_u(n,0)=0$
• 3、$s_u(n,n)=1$
• 4、$s_u(n,1)=(n-1)!$
• 5、$s_u(n,n-1)=C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$
• 更多请见百度百科

• 应用

• 经典仓库解锁问题：
• 1、有$n$个仓库，每个仓库$2$把钥匙，共$2n$把钥匙。又有$n$位官员，如何放置钥匙才能使得每一位官员能打开每一个仓库？（不考虑官员手里的钥匙）共多少种方案？
• 只需把钥匙放成一个环形（仓库$1$放钥匙$2$，仓库$2$放钥匙$3$……仓库$n$放钥匙$1$），一共有$(n-1)!$种方案（不能自己放自己的钥匙）。
• 答案实质上是$s_u(n,1)$，$n$个不同元素构成一个环的方案数。
• 2、如果把官员分成$m$个部，每个部拥有自己的仓库，仓库和官员数量对应。如何放置钥匙才能使得每一位官员能打开自己部的所有仓库（不考虑官员和他们手里的钥匙），而无法打开其他的任何一个仓库？共有多少种方案？
• 分析一下就发现，只要把钥匙类似上一问，但放成$m$个环即可，
• 这样的方案数正是$n$个不同元素构成$m$个环的方案数，
• 所以答案为$s_u(n,m)$.

第二类Stirling数

• 定义

• 第二类Stirling数表示把$n$个不同的数划分为$m$个集合的方案数，要求不能为空集，写作$S(n,m)$.
• 和第一类Stirling数不同，划分集合不必考虑排列次序。

• 递推式

• 考虑$S(n,m)$可以由什么转移得到？
• 1、$S(n-1,m-1)$，将$n-1$个不同元素划分为了$m-1$个集合，则第$n$个元素必须单独放入第$m$个集合。方案数：
  $$S(n-1,m-1)$$
• 2、$S(n-1,m)$，将$n-1$个不同元素已经划分为了$m$个集合，则第$n$个元素可以放在$m$个集合中任意一个里面。方案数：
  $$S(n-1,m)\ast m$$
• 则可以得出递推式：
  $$S(n,m)=S(n-1,m-1)+S(n-1,m)\ast m$$

• 三角形

n	$S(n,m)$
0	1
1	0 1
2	0 1 1
3	0 1 3 1
4	0 1 7 6 1
5	0 1 15 25 10 1
…	…

• 性质

• 通过观察以上的三角形可以得到：
• 1、$S(0,0)=1$
• 2、$S(n,0)=0$
• 3、$S(n,1)=1$
• 4、$S(n,n)=1$
• 5、$S(n,2)=2^{n-1}-1$
• 6、$S(n,n-1)=C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$
• 更多请见百度百科

• 应用

• 各种不同的盒子放球模型：
• 1、$n$个不同的球放入$m$个相同的盒子中，不允许盒子为空：
• 方案数$=S(n,m)$，正是第二类Stirling数的定义。
• 2、$n$个不同的球放入$m$个不同的盒子中，不允许盒子为空：
• 方案数$=S(n,m)\ast m!$，盒子有区别，乘上盒子所有排列即可。
• 3、$n$个不同的球放入$m$个相同的盒子中，允许盒子为空：
• 方案数$={\sum }_{i=0}^{m}S(n,i)$，枚举非空盒子个数即可。
• 4、$n$个不同的球放入$m$个不同的盒子中，允许盒子为空：
• 方案数$={\sum }_{i=0}^{m}P(m,i)\ast S(n,i)$，因为盒子不同，所以乘上排列数。

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