折半查找习题解答

1、本节的折半查找算法有一个特点：如果待查找的元素在数组中有多个则返回其中任意一个，以本节定义的数组int a[8] = { 1, 2, 2, 2, 5, 6, 8, 9 };为例，如果调用binarysearch(2)则返回3，即a[3]，而有些场合下要求这样的查找返回a[1]，也就是说，如果待查找的元素在数组中有多个则返回第一个。请修改折半查找算法实现这一特性。

//By LYLtim

#include<stdio.h>

#define LEN 8
int a[LEN] = { 1, 2, 2, 2, 5, 6, 8, 9 };

int Search(int k)
{
	int start = 0, end = LEN -1;
	while (start <= end) {
		int mid = (start + end) >> 1;
		if (k < a[mid])
		    end = mid -1;
		else if (k > a[mid])
		    start = mid +1;
		else {
			while (a[mid-1] == a[mid]) mid -= 1;
			return mid;
		}
	}
	return -1;
}
		

int main(void)
{
	printf("%d\n",Search(2));
	return 0;
}

2、编写一个函数double mysqrt(double y);求y的正平方根，参数y是正实数。我们用折半查找来找这个平方根，在从0到y之间必定有一个取值是y的平方根，如果我们查找的数x比y的平方根小，则x²<y，如果我们查找的数x比y的平方根大，则x²>y，我们可以据此缩小查找范围，当我们查找的数足够准确时（比如满足|x²-y|<0.001），就可以认为找到了y的平方根。

//By LYLtim
double mysqrt(double y)
{
	double l = 0, r = y, x;
	while (r - l > 0.000001) {
		x = (l + r) / 2;
		if (x * x > y) r = x;
		else l = x;
	}
	return (l + r) / 2;
}

3、编写一个函数double mypow(double x, int n);求x的n次方，参数n是正整数。最简单的算法是：

double product = 1;
for (i = 0; i < n; i++)
	product *= x;

这个算法的时间复杂度是Θ(n)。其实有更好的办法，比如mypow(x, 8)，第一次循环算出x·x=x²，第二次循环算出x²·x²=x⁴，第三次循环算出⁴·x⁴=x⁸。这样只需要三次循环，时间复杂度是Θ(lgn)。思考一下如果n不是2的整数次幂应该怎么处理。

// 递归版 By LYLtim
double mypow(double x, int n)
{
    if (n == 1) return x;
    else {
        double tmp = mypow(x, n >> 1);
        tmp *= tmp;
        if (n & 1)
            return tmp * x;
        else
            return tmp;
    }
}

// 非递归版 By LYLtim 
double mypow(double x, int n){
    double s = 1;
    while (n) {
        if (n & 1) s *= x;
        x *= x;
        n >>= 1;
    }
    return s;
}