[51nod 1850] 抽卡大赛

问题描述

51Nod为了活跃比赛前的气氛，组织了场抽卡比赛。这场比赛共 n 个人参加，主办方根据非欧血统鉴定器，得到了一些数据。每个人抽卡有 Mi 种可能，得到的卡能力值为 Aij 代价为 Gij 的可能性为 Pij ，所谓代价指的是玩家需要将一轮比赛后所得的点头盾的 Gij% 交给主办方。每轮比赛每个人都随机抽取卡片，待全部人抽取完毕后进行排名（按照A从大到小排），排在第 i 位的人有 Vi 的点头盾收入。现在主办方想知道一轮比赛后每个人的期望收入。

输入格式

第一行一个正整数 n
接下来 n 个部分
每个部分第一行为正整数 Mi，接下来 Mi 行有三个整数 Aij Gij Pij
接下来一行 n 个整数，分别为 Vi
设 ∑Pij=Qi，则第 i 个人抽到第 j 张卡的概率为 Pij/Qi
1<=n,Mi<=200，1<=Aij<=1000000000，保证 Aij 互不相同，0<=Gij<=100，1<=Pij<=1000，1<=Vi<=1000

输出格式

输出 n 行，每行一个数表示每个人的期望收入
为了防止精度误差，输出答案在模 1e9+7 意义下的数值

样例输入

2
2
3 50 5
4 50 5
2
5 50 5
6 50 5
2 2

样例输出

1
1

解析

O(n^4)的做法比较好想。回想这个做法，可以发现最麻烦的一点是求每个人排名多少的概率。考虑优化这一过程。

假设当前考虑第(i)个人。设(p_j)表示第(j)个人排名比(i)靠前的概率，(f[j])表示第(i)个人排名为j的概率。结合生成函数的知识，(f)数列的生成函数即为

[prod_{j!=i}p_j imes x+(1-p_j) ]

(f[i])即对应上面多项式展开后的i-1次项。所以，我们将所有卡牌按照a从大到小排序，如果当前卡牌对应的人的排名要往后，就必须要在这张牌之前的牌中选一张。我们需要维护上面的多项式。具体的，设当前人为i，那么(p[j])就是j前面出现的所有卡牌的概率之和。由于多项式满足(i!=j)，我们要将当前的多项式除以(p_i imes x+1-p_i)，然后乘上(p_j imes x+1-p_j)。手动模拟一下两个多项式相乘的过程就可以解决这个问题了。

当然也可以NTT

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define int long long
#define N 202
using namespace std;
const int mod=1000000007;
struct card{
	int a,g,p,id;
}a[N*N];
int n,m[N],v[N],cnt,i,j,f[N],ans[N],p[N];
int read()
{
	char c=getchar();
	int w=0;
	while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
	while(c<='9'&&c>='0'){
		w=w*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return w;
}
int poww(int a,int b)
{
	int ans=1,base=a;
	while(b){
		if(b&1) ans=ans*base%mod;
		base=base*base%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
int my_comp(const card &x,const card &y)
{
	return x.a>y.a;
}
signed main()
{
	n=read();
	for(i=1;i<=n;i++){
		m[i]=read();
		int inv=0;
		for(j=1;j<=m[i];j++){
			cnt++;
			a[cnt].a=read(),a[cnt].g=read(),a[cnt].p=read();
			a[cnt].id=i;
			a[cnt].g=(100-a[cnt].g)*poww(100,mod-2)%mod;
			inv=(inv+a[cnt].p)%mod;
		}
		inv=poww(inv,mod-2);
		for(j=1;j<=m[i];j++) a[cnt-j+1].p=a[cnt-j+1].p*inv%mod;
	}
	for(i=1;i<=n;i++) v[i]=read();
	sort(a+1,a+cnt+1,my_comp);
	f[1]=1;
	for(i=1;i<=cnt;i++){
		if(a[i-1].id!=a[i].id){
			int inv=poww(1-p[a[i].id]+mod,mod-2);
			f[1]=f[1]*inv%mod;
			for(j=2;j<=n;j++) f[j]=(f[j]-f[j-1]*p[a[i].id]%mod+mod)%mod*inv%mod;
			for(j=n;j>=1;j--) f[j]=(f[j]*(1-p[a[i-1].id]+mod)%mod+f[j-1]*p[a[i-1].id]%mod)%mod;
		}
		for(j=1;j<=n;j++) ans[a[i].id]=(ans[a[i].id]+f[j]*v[j]%mod*a[i].p%mod*a[i].g%mod)%mod;
		p[a[i].id]=(p[a[i].id]+a[i].p)%mod;
	}
	for(i=1;i<=n;i++) printf("%lld
",ans[i]);
	return 0;
}