题目链接：
https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=4008
题目大意：
想象一下，你在KTV，想待久点，并且机器会让你唱完你歌再停。于是你选了劲歌金曲，678秒。现在你至少还剩一秒切到这首歌，而且每首歌必须唱完，现在问你你最久能待多久。
思路：
01背包，动态规划。但是01背包变式我第一次做的时候没有想到，结果误入歧途。。后面会贴代码，想直接看题解的不看便是，前面先说题解。
首先不断dp更新最大歌的数量，不算上劲歌金曲，然后用一个mx记录一下最大歌曲数量，注意，这里是为了限制你的决策。用时间作为背包容量进行dp，记录下最多歌曲数目，最后通过最多歌曲数目得出最多歌曲数目下的最长时间。至于为什么不能直接求，后面会给理由。
AC代码如下：
#include <iostream> #include <string.h> #include <cstdio> #include <algorithm> using namespace std; const int jingejinqu = 678; const int MX = 1e5+10; int dp[MX]; int v[MX]; int main() { int T; scanf("%d", &T); int k = 0; while(T--) { int summx = 0; memset(dp, -1, sizeof(dp)); memset(v, 0, sizeof(v)); int n, m; scanf("%d%d", &n, &m); dp[0] = 0; //这里注意一下，刚开始从0开始，不然无法进行下去 for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &v[i]); for(int i = 1; i <= n; ++i) for(int j = m-1; j >= v[i]; --j) { if(dp[j-v[i]] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[ j-v[i] ]+1); summx = max(summx, dp[j]); } for(int i = m-1; i >= 0; --i) { if(dp[i] == summx) { printf("Case %d: %d %d ", ++k, summx+1, i+jingejinqu); break; } } } }
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下面是曲折的解题道路：
刚刚开始我直接当成了01背包裸题来解，思路也比较奇葩，就是直接解，定义了一个struct类来记录有没有选到：
#include <iostream> #include <cstdio> #define ll long long #include <algorithm> #include <string.h> using namespace std; const int MX = 1e5+10; const int jinggejinqu = 678; ll dp[MX]; //ll val[MX]; struct { ll x; int flag; } val[MX]; int main() { int T; scanf("%d", &T); int k = 0; while(T--) { memset(dp, -1, sizeof(dp)); memset(val, 0, sizeof(val)); int cnt = 1; int n; ll m; scanf("%d%lld", &n, &m); for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%lld", &val[i].x); for(int i = 1; i <= n; ++i) { ll x = dp[m]; for(int j = m-1; j >= val[i].x; --j) { //dp[j] = max(dp[j], dp[ j-val[i] ]+val[i]); if(dp[j] < dp[ j-val[i].x ]+val[i].x) { dp[j] = dp[ j-val[i].x ]+val[i].x; //if(j == m) val[i].falg = 1; } else dp[j] = dp[j]; } if(x+val[i].x == dp[m]) val[i].flag = 1; } for(int i = 1; i <= n; ++i) if(val[i].flag) cnt++; ll ans = dp[m]+jinggejinqu; printf("Case %d: %d %lld ", ++k, cnt, ans); } }
但是，WA了
后来继续想了个思路，2次dp：
#include <iostream> #include <string.h> #include <cstdio> #include <algorithm> using namespace std; const int jingejinqu = 678; const int MX = 1e7+10; int dp1[MX], dp2[MX]; int v[MX]; int main() { int T; scanf("%d", &T); int k = 0; while(T--) { int summx = 0; memset(dp1, -1, sizeof(dp1)); memset(dp2, 0, sizeof(dp2)); memset(v, 0, sizeof(v)); int n, m; scanf("%d%d", &n, &m); dp1[0] = 0; for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &v[i]); for(int i = 1; i <= n; ++i) for(int j = m-1; j >= v[i]; --j) { if(dp1[j-v[i]] >= 0) dp1[j] = max(dp1[j], dp1[ j-v[i] ]+1); summx = max(summx, dp1[j]); } for(int i = 1; i <= n; ++i) for(int j = m-1; j >= v[i]; --j) { dp2[j] = max(dp2[j], dp2[ j-v[i] ]+v[i]); } printf("Case %d: %d %d ", ++k, summx+1, dp2[m-1]+jingejinqu); } }
还是WA了。。。
怎么也想不出哪里错了，于是百度，一看才知道：
下面取自博客：https://www.cnblogs.com/shi2015/p/4661971.html
由于要求是连续唱歌，且要求在最多歌曲数的情况下时间最长，如果按普通的背包存储，很难得到最长时间，因为f[len] 只存储了最多的歌曲数，但并不知道这些歌曲到底唱了多少时间。假设最多歌曲数为num, 唱num首歌曲最少时间为tmin, 那么数组中从f[tmin]到f[len]都等于num,我们无法得知唱num首歌的最大时间。比如说len = 10, t[1] = 5, t[2] = 8, 那么f[5] 到 f[10] 都等于1， 无法知道唱从5到10哪个是唱1首歌的最长时间。如何处理呢？
这里需要用到一个技巧：对决策进行一定的限定！在计算某个时间最多唱的歌曲时，必须是该时间内恰好唱完这些歌，时间多了不行。即f[j]表示的是在j 的时间恰好用完的情况下最多能唱多少首歌。比如上面的例子只有f[5] 和f[8]等于1，其他的都等于0。这样的话处理时先算出最多唱的歌曲数 num，然后从j = len开始遍历数组f, 第一个等于num的就是在最多歌曲情况下的最长时间。
理解起来就是同样数量的值可能会在dp中出现多次所以，歌曲优先级大于时间，于是我们将歌曲数作为背包收益。
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