第二节--常用数据结构

第二节–常用数据结构

一.认识数据结构

计算机具有处理速度快和存储容量大的两大特点

所谓数据(Data)，指的就是一种未经处理的原始文字(Word)，数字(Number)，符号(Symbol)或图形(Graph)等。我们可将数据分为两大类：一类为数值数据(Numeric Data)，例如0,1,2,3…9等所组成可用运算符(Operator)来进行运算的数据；另一类为字符数据(Alphanumeric Data)，像A,B,C…+,*等非数值数据(Non-Numeric Data)

信息(Information)就是利用大量的数据，经过有系统的整理，分析，筛选处理而提炼出来的，而且具有参考价格以及提供决策依据的文字，数字，符号或图表

数据结构主要是表示数据在计算机内存中所存储的位置及其模式，通常可以分为以下三种类型：

1. 基本数据类型(Primitive Data Type)—不能以其他类型来定义的数据类型，或称为标量数据类型(Scalar Data Type)
2. 结构化数据类型(Structured Data Type)—结构数据类型也称为虚拟数据类型(Virtual Data Type)，是一种比基本数据类型更高一级的数据类型，例如：字符串(string),数组(array),指针(pointer),列表(list)等
3. 抽象数据类型(Abstract Data Type ,ADT)

二.数据结构的种类

1.数组

“数组”(Array)结构其实就是一排紧密相邻的可数内存，并提供了一个能够直接访问单一数据内容的计算方法

1.1二维数组
二维数组(Two-dimension Array)可视为一维数组的扩展，都是用于处理数据类型相同的数据，差别只在于维数的声明。

在python语言中，列表中可以有列表，这种情况就称为二维列表，要读取二维列表的数据可以通过for循环。二维列表简单来讲是列表中的元素也是列表。下面举例来说明：

number = [[11,12,13],[22,24,26],[33,35,37]]    

1.2三维数组
三维数组(Three-dimension Array)，基本上三维数组的表示法和二维数组一样，都可视为一维数组的延伸，如果数组为三维数组，可以看作是一个立方体
将arr[2][3][4]三维数组想象成空间上的立方体。python中声明三维数组：

arr = [[[33,4,6,12],[23,71,6,15],[55,38,6,18]],[[21,9,15,21],[38,69,18,26],[90,101,89,16]]]

2.链表

链表(Linked List)是由许多相同数据类型的数据项按特定顺序排列而成的线性表。链表的特点是各个数据项在计算机内存中位置时不连续且随机(Random)存放的，其优点是数据的插入或删除都相当方便。其缺点就是设计数据结构较为麻烦，并且在查找数据时，也无法像静态数据(如数组)那样可随机读取数据，必须按序查找到该数据为止

在动态分配内存空间时，最常使用的就是"单向链表"(Single Linked List)。一个单向链表节点基本上是由数据字段和指针两个元素组成的，指针将会指向下一个元素在内存中的地址

在"单向链表"中第一个节点是"链表头指针"，指向最后一个节点的指针设为None，表示它是"链表尾"，不指向任何地方。例如，列表A={a,b,c,d,x}，其单向链表的数据结构如下图；

3.堆栈

堆栈(Stack)是一种相同数据类型的组合，具有"后进先出"(Last In First Out,LIFO)的特性，所有的操作均在堆栈结构的顶端进行

堆栈是一种抽象型数据结构(Abstract Data Type,ADT)，具有下列特性：

1. 只能从堆栈的顶端存取数据
2. 数据的存取符合"后进先出"的原则

4.队列

队列是一种"先进先出"(First In First Out)的数据结构，和堆栈一样都是一种有序线性表的抽象数据类型(ADT)

堆栈只需一个顶端(Top)，指针指向堆栈顶端，二队列则必须使用front和rear两个指针分别指向队列前端和队列尾端

三.树形结构

1.树的基本观念

“树”(Tree)是由一个或一个以上的节点(Node)所组成的，存在一个特殊的节点，称为树根(Root)，每个节点可代表一些数据和指针组合而成的记录。其余节点则可分为n>=0个互斥的集合，即(T1,T2,T3…Tn)，每一个子集合本身也是一种树形结构及此根节点的子树

在树形结构中，有许多常用的专有名词：

• 度数(Degree)：每个节点所有子树的个数。例如：图1中的节点B的度数为2，D的度数为3，F，K，I，J等的度数为0
• 层数(level)：树的层数，假设树根A为第一层，B，C，D节点的层数为2，E，F，G，H，I，J的层数为3
• 高度(Height)：树的最大层数。图1所示的树的高度为4
• 树叶或称终端节点(Terminal Nodes)：度数为零的节点就是树叶。图1中的K，L，F，G，M，I，J就是树叶，图2则有4个树叶节点，如E，C，H，I

2.二叉树

一般树形结构在计算机内存中的存储方式是以链表(Linked List)为主。对于n叉树(n-way树)来说，因为每个节点的度数都不相同，所以我们必须为每个节点都预留存放n个链接字段的最大存储空间，因而每个节点的数据结构如下：

请大家特别注意，这种n叉树十分浪费链接存储空间。假设此n叉树有m个节点，那么此树共有nm个链接字段。另外，因为除了树根外，每一个非空链接都指向一个节点，所以得知空链接个数为nm-(m-1)，而n叉树的连接浪费率为m*(n-1)+1/m*n。因此我们可以得到以下结论：

• n=2时，二叉树的链接浪费率约为1/2
• n=3时，三叉树的链接浪费率约为2/3
• n=4时，四叉树的链接浪费率约为3/4

…
当n=2时，它的链接浪费率最低，所以为了改进存储空间浪费的缺点，我们最常使用二叉树(Binary Tree)结构来取代其他树形结构

二叉树(又称为Knuth树)是一个由有限节点所组成的集合，此集合可以为空集合，或由一个数根及其左右两个子树所组成。简单来说，二叉树最多只能有两个子节点，就是度数小于或等于2。其计算机中的数据结构如下：

二叉树和一般树的不同如下：

1. 树不可为空集合，但是二叉树可以
2. 树的度数为d>=0，但二叉树的节点度数为0<=d<=2
3. 树的子树间没有次序关系，二叉树则有

四.图形结构简介

树形结构用于描述节点与节点之间"层次"的关系，但是图形结构却是讨论两个顶点之间"连通是否"的关系，在图中连接两顶点的边若填上加权值，这类图就称为"网络"

说到图形理论，就必须说说"七桥问题"，欧拉思考问题如下"是否有人在只经过每一座桥梁一次的情况下，把所有的地方都走过一次而且回到原点"

欧拉使用的方法就是以图形结构进行分析。他先以顶点表示城市，以边表示桥梁，并定义了连接每个顶点的边数为该顶点的度数。如上图右下图

结论：当所有顶点的度数都为偶数时，才能从某顶点出发，经过每条边一次，在回到起点。也就是说图中都为奇数，所以欧拉所思老的问题是不可能发生的，这个理论就是有名的"欧拉环"(Eulerian Cycle)理论

如果条件改成从某顶点出发，经过每条边一次，不一定要回到起点，即只允许其中两个顶点的度数是奇数，其余则必须全部为偶数，符合这样的结果就称为欧拉链(Eulerian Chain)。如下图

图形的定义

图是由"顶点"和"边"所组成的集合，通常用G=(V,E)来表示，其中V是所有顶点所组成的集合，而E代表所有边所组成的集合。图的种类有两种：一种是无向图，一种有向图，无向图以(V1,V2)表示其边，而有向图则以<V1,V2>表示其边

1.无向图

无向图(Graph)是一种边没有方向的图，即同边的两个顶点没有次序关系，例如(V1,V2)与(V2,V1)代表的是相同的边，如下图

V={A,B,C,D,E}
E={(A,B),(A,E),(B,C),(B,D),(C,D),(C,E),(D,E)}

2.有向图

有向图(Digraph)是一种每一条边都可使用有序对<V1,V2>来表示的图，所谓的<V1,V2>是指V1为尾端指向为头部的V2

V={A,B,C,D,E}
E={<A,B>,<B,C>,<C,D>,<C,E>,<E,D>,<D,B>}

五.哈希表

哈希表是一种存储记录的连续内存，通过哈希函数的应用，可以快速存取与查找数据。基本上，所谓哈希法(Hashing)就是将本身的键值，通过特定的数学函数运算或使用其他的方法，转换成相对应的数据存储地址

哈希函数的相关名词：

• bucket(桶)：哈希表中存储数据的位置，每一个位置对应到唯一的一个地址(bucket address)。桶就好比一个记录
• slot(槽)：每一个记录中可能包含好几个字段，而slot指的就是"桶"中的字段
• collision(碰撞)：两项不同的数据，经过哈希函数运算后，对应到相同的地址
• 溢出：如果数据经过哈希函数运算后，所对应到的bucket已满，就会使bucket发生溢出
• 哈希表：存储记录的连续内存。哈希表是一种类似数据表的索引表格，可分为n个bucket，每个bucket又可分为m个slot
• 加载密度(Loading Factor)：所谓加载密度是指标识符的使用数量除以哈希表内槽的总数。@(加载密度)=n(标识符的使用数目)/[s(每一个桶内的槽数)*b(桶的数目)]。@值越大，表示哈希空间的利用率越高，碰撞或溢出的概率也会越高
• 完美哈希(Perfect Hashing)：没有碰撞也没有溢出的哈希函数

通常在设计哈希函数时应该遵循以下几个原则：

1. 降低碰撞和溢出的产生
2. 哈希函数不宜过于复杂，越容易计算越佳
3. 尽量把文字的键值转换成数字的键值，以利于哈希函数的运算
4. 所设计的哈希函数计算得到的值，尽量能均匀地分布在每一个桶中，不要太过于集中在某些桶内，这样就可以降低碰撞，并减少溢出的处理