BZOJ2194. 快速傅立叶之二

传送门

求 $c[k]=sum_{i=k}^{n}(a[i]*b[i-k])$

为了搞 $FFT$，考虑把 $a,b$ 的下标变成相加等于 $k$ 这样的形式

设 $d$ 为 $b$ 翻转后的数组，即 $d[i]=b[n-1-i]$，或者说 $b[i]=d[n-1-i]$

原式 $c[k]=sum_{i=k}^{n}(a[i]*b[i-k])$ 可变成 $c[k]=sum_{i=k}^{n}(a[i]*b[n-1-(n-1-i+k)])$

把 $d[i]=b[n-1-i]$ 代入得 $c[k]=sum_{i=k}^{n}(a[i]*d[n-1-i+k])$

发现 $a,d$ 的下标相加恒为 $n-1+k$ 所以可以 $FFT$

为了更好理解，不妨设 $e[n-1+i]=c[i]$，则 $e[n-1+k]=sum_{i=k}^{n}(a[i]*d[n-1-i+k])$

此时 $a,d$ 下标相加恰好等于 $e$ 的下标，就是裸的 $FFT$

最后要求输出 $c[i]$ ，其实就是输出 $e[n-1+i]$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
    while(ch>='0'&&ch<='9') { x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); }
    return x*f;
}
const int N=4e5+7;
const double pi=acos(-1.0);
struct CP {
    double x,y;
    CP (double xx=0,double yy=0) { x=xx,y=yy; }
    inline CP operator + (const CP &tmp) const {
        return CP(x+tmp.x,y+tmp.y);
    }
    inline CP operator - (const CP &tmp) const {
        return CP(x-tmp.x,y-tmp.y);
    }
    inline CP operator * (const CP &tmp) const {
        return CP(x*tmp.x-y*tmp.y,x*tmp.y+y*tmp.x);
    }
}A[N],D[N];
int n,p[N];
void FFT(CP *A,int len,int type)
{
    for(int i=0;i<len;i++) if(i<p[i]) swap(A[i],A[p[i]]);
    for(int mid=1;mid<len;mid<<=1)
    {
        CP wn(cos(pi/mid),type*sin(pi/mid));
        for(int R=mid<<1,j=0;j<len;j+=R)
        {
            CP w(1,0);
            for(int k=0;k<mid;k++,w=w*wn)
            {
                CP x=A[j+k],y=w*A[j+mid+k];
                A[j+k]=x+y;
                A[j+mid+k]=x-y;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    n=read();
    for(int i=0;i<n;i++) A[i].x=read(),D[n-1-i].x=read();
    int len=1,tot=0;
    while(len<=2*(n-1)) len<<=1,tot++;
    for(int i=0;i<len;i++) p[i]=(p[i>>1]>>1) | ((i&1)<<(tot-1));
    FFT(A,len,1); FFT(D,len,1);
    for(int i=0;i<=len;i++) A[i]=A[i]*D[i];
    FFT(A,len,-1);
    for(int i=0;i<n;i++) printf("%d
",int(A[n-1+i].x/len+0.5));
    return 0;
}