LETTers比赛第三场 1002 Ignatius and the Princess III解题报告

提交人：侯建鹏

提交日期：2012/4/16

1002 Ignatius and the Princess III

解题思路（一）：动态规划

先设置int p[N][N];

Dp 方程为：p[i][j]=p[i][j-1]+p[i-j][j]。

其中，p[i][j]表示将i分解成小于等于j个项的方法的种数。很明显，p[i][j]等于将i分解成小于等于j-1个项的种数（即p[i][j-1]），再加上，将它分解成j个项的方法的种数（即p[i-j][j]）.

下面重点来说一下为什么将i分解成j个项的方法的种数为p[i-j][j]。

举例：将4分解成2个项的方法有两种，3、1和2、2.将这两组数字每个数字都减一，你会发现这两组数字变成了2、0和1、1，把0省略掉，即写成2和1、1，这恰好是把2分解成小于等于两个项的方法数。

所以，你可以清楚的发现，i分解成j个项的方法的种数即为将i-j分解成小于等于j个项的方法种数，即p[i-j][j].

当然，还有一些其他问题需要注意，不过就很简单了，详见程序。

#include<stdio.h>

#define N 130

int p[N][N];

int main()

{

    for(int i=0;i<N;i++)

    {

        p[0][i]=1;p[1][i]=1;p[i][1]=1;

    }

    for(i=2;i<N;i++)

        for(int j=2;j<N;j++)

            if(j<=i)

                p[i][j]=p[i][j-1]+p[i-j][j];

            else

                p[i][j]=p[i][j-1];

    int n;

    while(scanf("%d",&n)==1)

        printf("%d\n",p[n][n]);

    return 0;

}

 

解题思路（二）：母函数

我感觉其实就是特殊的动态规划，计算（1+x+x^2+x^3+……）*（1+x^2+x^4+x^6+……）*（1+x^3+x^6+x^9+……）*……中最后x^n前面的系数。详见代码。

#include<stdio.h>

#define N 122

int main()

{

    int a[N],b[N],i,j,k,n;

    for(i=0;i<N;i++)

    {

        a[i]=1;

        b[i]=0;

    }

    for(i=2;i<N;i++)

    {

        for(k=0;k<N;k+=i)

            for(j=0;j+k<N;j++)

                b[j+k]+=a[j];

        for(j=0;j<N;j++)

        {

            a[j]=b[j];

            b[j]=0;

        }

    }

    while(scanf("%d",&n)==1)

        printf("%d\n",a[n]);

    return 0;

}