快速线性筛详解

转自：http://blog.csdn.net/dinosoft/article/details/5829550

 一般的线性筛法

首先先介绍一般的线性筛法求素数

void make_prime()  {        
    memset(prime, 1, sizeof(prime));  
    prime[0]=false;       
    prime[1]=false;       
    int N=31700;        
    for (int i=2;  i<N;  i++)           
      if (prime[i]) {            
        primes[++cnt ]=i;       
        for (int k=i*i; k<N; k+=i)          
            prime[k]=false;         
      }        
    return;  
}     

这种方法比较好理解，初始时，假设全部都是素数，当找到一个素数时，显然这个素数乘上另外一个数之后都是合数(注意上面的 i*i ,  比 i*2 要快点 )，把这些合数都筛掉，即算法名字的由来。

但仔细分析能发现，这种方法会造成重复筛除合数，影响效率。比如10，在i=2的时候，k=2*15筛了一次；在i=5，k=5*6 的时候又筛了一次。所以，也就有了快速线性筛法。

快速线性筛法

快速线性筛法没有冗余，不会重复筛除一个数，所以“几乎”是线性的，虽然从代码上分析，时间复杂度并不是O(n)。先上代码

#include<iostream>   
using namespace std;      
const long N = 200000;     
long prime[N] = {0},num_prime = 0;      
int isNotPrime[N] = {1, 1};//先将0，1排除 
int main()      
{        
        for(long i = 2 ; i < N ; i ++)         
        {              
        if(! isNotPrime[i])     //isNotPrime==0            
            prime[num_prime ++]=i;//自己在前面打好了标记。 
        //关键处1           
/*i为合数时也要参与循环*/       for(long j = 0 ; j < num_prime/*小于已经求出的质数个数*/ && i * prime[j]/*乘以其它质数，且质数比自己小或者是自己（已经求出来了），所以不可能重复*/ <  N ; j ++)  
            {                 
                isNotPrime[i * prime[j]] = 1;//乘以其它素数得到的一定是合数，之所以不重复是因为质数间不等 
            if( !(i % prime[j] ) )  //关键处2 i%prime==0  根据“关键处2”的定义，当p1==prime[j] 的时候，
            //筛除就终止了(从最小质数开始所以本句话成立），            
                break;             
        }          
    }          
    return 0;
    //我们可以直观地举个例子。i=2*3*5*3，补大 

//此时能筛除 2*i ,不能筛除 3*i

//如果能筛除3*i 的话，当 i' 等于 i'=3*3*5 加小       时，筛除2*i' 就和前面重复了。（顺序性） 
    
 }

先，先明确一个条件，任何合数都能表示成一系列素数的积。

不管 i 是否是素数，都会执行到“关键处1”，

①如果 i 都是是素数的话，那简单，一个大的素数 i 乘以不大于 i 的素数，这样筛除的数跟之前的是不会重复的。筛出的数都是 N=p1*p2的形式, p1，p2之间不相等

②如果 i 是合数，此时 i 可以表示成递增素数相乘 i=p1*p2*...*pn, pi都是素数（2<=i<=n），  pi<=pj  ( i<=j )

p1是最小的系数。

根据“关键处2”的定义，当p1==prime[j] 的时候，筛除就终止了，也就是说，只能筛出不大于p1的质数*i。

我们可以直观地举个例子。i=2*3*5

此时能筛除 2*i ,不能筛除 3*i

如果能筛除3*i 的话，当 i' 等于 i'=3*3*5 时，筛除2*i' 就和前面重复了。

需要证明的东西：

1. 一个数会不会被重复筛除。
2. 合数肯定会被干掉。

根据上面红字的条件，现在分析一个数会不会被重复筛除。

设这个数为 x=p1*p2*...*pn, pi都是素数（1<=i<=n)  ,  pi<=pj ( i<=j ) 

当 i = 2 时，就是上面①的情况，

当 i >2 时， 就是上面②的情况， 对于 i ，第一个能满足筛除 x 的数  y 必然为 y=p2*p3...*pn（p2可以与p1相等或不等），而且满足条件的 y 有且只有一个。所以不会重复删除。

证明合数肯定会被干掉？ 用归纳法吧。

 类比一个模型，比如说我们要找出 n 中2个不同的数的所有组合 { i , j } ，1<=i<=n, 1<=j<=n,

我们会这么写

for (i=1; i<n; ++i )

  for (j=i+1; j<=n; ++j)

   {

    /////

   }

我们取 j=i+1 便能保证组合不会重复。快速筛法大概也是这个道理，不过这里比较难理解，没那么直观。