能量采集Description
栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中，总共产生了36的能量损失。
Input
仅包含一行，为两个整数n和m。
Output
仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。
Sample Input
【样例输入1】 5 4 【样例输入2】 3 4Sample Output
【样例输出1】 36 【样例输出2】 20 【数据规模和约定】 对于10%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10； 对于50%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100； 对于80%的数据：1 ≤ n, m ≤ 1000； 对于90%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10,000； 对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。
感觉我自己很难想出来哈~
O(nlogn)：f[i]表示不超过限制时gcd(a,b)=i的对数，从后往前做然后减掉多算的：
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn =100005;
typedef long long LL ;
LL f[maxn];///f[i]表示满足gcd(x,y)=i的对数
int main()
{
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
LL t=min(n,m);
LL ans=0;
for(int i=t;i;i--){
f[i]=(LL)(m/i)*(n/i);
for(int j=i+i;j<maxn;j+=i)
f[i]-=f[j];
ans+=f[i]*(2*i-1);
}
printf("%lld
",ans);
return 0;
}
把他们累加起来计算即可。
O(n):∑(a,b) (1<=a<=n,1<=b<=m) = ∑phi[d]*⌊n/d⌋*⌊m/d⌋
具体见ppt证明。
O(√n)：用分块方法计算上式
可见，形式类似d*√（n/d）的可以考虑分块优化来做~~
代码如下：
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<cstring> 4 #include<iostream> 5 #include<algorithm> 6 #include<cmath> 7 using namespace std; 8 #define Maxn 100010 9 #define LL long long 10 11 LL pri[Maxn],phi[Maxn],cnt; 12 bool q[Maxn]; 13 14 LL mymin(LL x,LL y) {return x<y?x:y;} 15 16 void get_phi(LL mx) 17 { 18 memset(q,1,sizeof(q)); 19 cnt=0; 20 phi[1]=1; 21 for(LL i=2;i<=mx;i++) 22 { 23 if(q[i]) 24 { 25 pri[++cnt]=i; 26 phi[i]=i-1; 27 } 28 for(LL j=1;j<=cnt;j++) 29 { 30 if(i*pri[j]>mx) break; 31 32 q[i*pri[j]]=0; 33 // int a=0,b=i; 34 // while(b%pri[j]==0) b/=pri[j],a++; 35 if(i%pri[j]==0) phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j]; 36 else phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1); 37 38 if(i%pri[j]==0) break; 39 } 40 } 41 } 42 43 int main() 44 { 45 get_phi(100000); 46 int T=1; 47 while(T--) 48 { 49 LL ans=0; 50 LL n,m; 51 scanf("%lld%lld",&n,&m); 52 53 for(LL i=1;i<=mymin(n,m);i++) 54 { 55 ans+=phi[i]*(n/i)*(m/i); 56 // printf("%d %d ",i,phi[i]*(n/i)*(m/i)); 57 } 58 59 ans=2*ans-m*n; 60 61 printf("%lld ",ans); 62 } 63 return 0; 64 }
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<cstring> 4 #include<iostream> 5 #include<algorithm> 6 #include<cmath> 7 using namespace std; 8 #define Maxn 100010 9 #define LL long long 10 11 LL pri[Maxn],phi[Maxn],h[Maxn],cnt; 12 bool q[Maxn]; 13 14 LL mymin(LL x,LL y) {return x<y?x:y;} 15 16 void get_phi(LL mx) 17 { 18 memset(q,1,sizeof(q)); 19 cnt=0; 20 phi[1]=1; 21 for(LL i=2;i<=mx;i++) 22 { 23 if(q[i]) 24 { 25 pri[++cnt]=i; 26 phi[i]=i-1; 27 } 28 for(LL j=1;j<=cnt;j++) 29 { 30 if(i*pri[j]>mx) break; 31 32 q[i*pri[j]]=0; 33 // int a=0,b=i; 34 // while(b%pri[j]==0) b/=pri[j],a++; 35 if(i%pri[j]==0) phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j]; 36 else phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1); 37 38 if(i%pri[j]==0) break; 39 } 40 } 41 h[1]=phi[1]; 42 for(int i=2;i<=mx;i++) h[i]=h[i-1]+phi[i]; 43 } 44 45 int main() 46 { 47 get_phi(100000); 48 int T=1; 49 while(T--) 50 { 51 LL ans=0; 52 LL n,m,t; 53 scanf("%lld%lld",&n,&m); 54 if(n>m) t=n,n=m,m=t; 55 56 int sq=(int)ceil(sqrt((double)m)); 57 58 for(LL i=1;i<=sq;i++) 59 { 60 ans+=phi[i]*(n/i)*(m/i); 61 } 62 63 for(LL i=sq+1;i<=n;) 64 { 65 int x=n/i,y=m/i; 66 int r1=n/x+1,r2=m/y+1; 67 int r=mymin(r1,r2); 68 if(r>n+1) r=n+1; 69 ans+=x*y*(h[r-1]-h[i-1]); 70 i=r; 71 } 72 73 ans=2*ans-m*n; 74 75 printf("%lld ",ans); 76 } 77 return 0; 78 }
2016-08-30 09:16:28