AC 自动机 = ( ext{trie}) + ( ext{kmp}) 的思想
AC 自动机
问题：给定 (n) 个模式串和一个文本串，问有多少个模式串出现在文本串中
跑 (n) 遍 ( ext{kmp}) ？若数据毒瘤会超时
于是一些珂学家们发明了 AC 自动机
fail
假设模式串分别是 he she her shy say
建出 ( ext{trie}) 树
暴力匹配效率不高，考虑用 ( ext{kmp}) 的 (next) 思想，在 ( ext{trie}) 上建一个 (fail)
设当前串 (S) 以 (u) 结尾，则 (fail_u) 指向
能与 (S) 后缀匹配的）最长的） ( ext{trie}) 的前缀所在的）节点
这着实有点绕，可以康康图
如图，能与 she 的后缀匹配的 ( ext{trie}) 的前缀，只有 he
如何构建
考虑 bfs ，对于当前点 (u) 存在的儿子 (ch_{u,i})
从 (u) 开始往上跳 (fail)，直到一个点 (v) 也有 (ch_{v,i}) ，那么 (ch_{u,i}) 的 (fail) 指向 (ch_{v,i})
特别的，如果没有符合条件的 (v) ，那么 (fail) 指向根
同时第二层的 (fail) 都指向跟
inline void gfail() {
for(int i=0;i<26;i++)
if(ch[0][i])q[++tl]=ch[0][i];
register int u;
while(hd<tl) {
u=q[++hd];
for(int i=0,v;i<26;i++) {
if(ch[u][i]) {
v=fail[u];
while(!ch[v][i] && v)v=fail[v];
fail[ch[u][i]]=ch[v][i];
q[++tl]=ch[u][i];
}
}
}
}
查询
如何查询文本串 (s) 呢
指针 (u) 从根开始，将每个字母送入自动机
若不存在 (ch_{u,c}) ，则跳 (fail) 找到一个存在的 (ch_{v,c})
然后沿着从 (fail) 到根的路径统计个数，
注意不要重复
inline int ask(int le) {
register int u=0,ans=0;
for(int i=1,v;i<=le;i++) {
v=s[i]-'a';
while(!ch[u][v] && u)u=fail[u];
u=ch[u][v];
for(int j=u;j && flg[j];j=fail[j])
ans+=flg[j],flg[j]=0;
}
return ans;
}
trie 图
发现如果当前节点没有对应的子节点，那么就需要沿着 (fail) 向上走，会浪费时间
考虑在建立 (fail) 时补全 ( ext{trie}) 树，形成 ( ext{trie}) 图
若 (u) 不存在儿子 (i) ，则将儿子 (i) 指向 (fail_u) 儿子 (i)
否则直接将儿子的 (fail) 指向 (fail_u) 的儿子 (i)
inline void gfail() {
for(int i=0;i<26;i++)
if(ch[0][i])q[++tl]=ch[0][i];
register int u;
while(hd<tl) {
u=q[++hd];
for(int i=0;i<26;i++) {
if(ch[u][i]) {
fail[ch[u][i]]=ch[fail[u]][i];
q[++tl]=ch[u][i];
} else ch[u][i]=ch[fail[u]][i];
}
}
}
匹配完后的查询也不需要跳 (fail) 了
inline int ask(int le) {
register int u=0,ans=0;
for(int i=1;i<=le;i++) {
u=ch[u][s[i]-'a'];
for(int j=u;j && flg[j];j=fail[j])
ans+=flg[j],flg[j]=0;
}
return ans;
}
Code
例：模板
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1000005;
int n,ch[N][26],fail[N],flg[N],tot,hd,tl,q[N];
char s[N];
inline void ins(int le) {
register int u=0;
for(int i=1,v;i<=le;i++) {
v=s[i]-'a';
if(!ch[u][v])ch[u][v]=++tot;
u=ch[u][v];
}
flg[u]++;
}
inline void gfail() {
for(int i=0;i<26;i++)
if(ch[0][i])q[++tl]=ch[0][i];
register int u;
while(hd<tl) {
u=q[++hd];
for(int i=0;i<26;i++) {
if(ch[u][i]) {
fail[ch[u][i]]=ch[fail[u]][i];
q[++tl]=ch[u][i];
} else ch[u][i]=ch[fail[u]][i];
}
}
}
inline int ask(int le) {
register int u=0,ans=0;
for(int i=1;i<=le;i++) {
u=ch[u][s[i]-'a'];
for(int j=u;j && flg[j];j=fail[j])
ans+=flg[j],flg[j]=0;
}
return ans;
}
int main() {
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) {
scanf("%s",s+1);
ins(strlen(s+1));
}
gfail();
scanf("%s",s+1);
printf("%d",ask(strlen(s+1)));
}
例：查询出现个数，一样的题
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1000005;
int n,ch[N][26],mx,ans[N],fail[N],flg[N],tot,hd,tl,q[N];
char s[N],st[200][200];
inline void ins(int le,int id) {
register int u=0;
for(int i=1,v;i<=le;i++) {
v=st[id][i]-'a';
if(!ch[u][v])ch[u][v]=++tot;
u=ch[u][v];
}
flg[u]=id;
}
inline void gfail() {
for(int i=0;i<26;i++)
if(ch[0][i])q[++tl]=ch[0][i];
register int u;
while(hd<tl) {
u=q[++hd];
for(int i=0;i<26;i++) {
if(ch[u][i]) {
fail[ch[u][i]]=ch[fail[u]][i];
q[++tl]=ch[u][i];
} else ch[u][i]=ch[fail[u]][i];
}
}
}
inline void ask(int le) {
register int u=0;
for(int i=1;i<=le;i++) {
u=ch[u][s[i]-'a'];
for(int j=u;j;j=fail[j])
ans[flg[j]]++;
}
}
int main() {
scanf("%d",&n);
while(n) {
memset(ch,0,sizeof(ch));
memset(flg,0,sizeof(flg));
memset(ans,0,sizeof(ans));
for(int i=1;i<=n;i++) {
scanf("%s",st[i]+1);
ins(strlen(st[i]+1),i);
}
gfail();
scanf("%s",s+1);
ask(strlen(s+1));
mx=0;
for(int i=1;i<=n;i++)mx=max(mx,ans[i]);
printf("%d
",mx);
for(int i=1;i<=n;i++)
if(ans[i]==mx)printf("%s
",st[i]+1);
scanf("%d",&n);
}
}
Fail 树
用途：统计模式串出现的个数
和加强版很想？可是暴力跳巨慢？
想想匹配的过程，从头开始跳 (fail) ，期间到的每个点都是一个出现的串
既然可以一个一个顺着跳，同理从模式串结尾往上跳到的节点个数就是该串出现的次数
于是可以只留下反着的 (fail) 边，形成 (fail) 树
只要将属于文本串的节点标为 1 ，那么节点 (u) 的子树和就是 (u) 出现的次数
子树和可以用 ( ext{dfs}) 序+树状数组，复杂度下降许多
例：几乎一样的题
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2000005;
int n,len,ch[N][26],fail[N],flg[N],tot,hd,tl,q[N],sz[N],tr[N];
char s[N];
int lst[N],nxt[N],to[N],cnt,dff,dfn[N];
inline void Ae(int fr,int go) {
to[++cnt]=go,nxt[cnt]=lst[fr],lst[fr]=cnt;
}
inline void ins(int le,int id) {
register int u=0;
for(int i=1,v;i<=le;i++) {
v=s[i]-'a';
if(!ch[u][v])ch[u][v]=++tot;
u=ch[u][v];
}
flg[id]=u;
}
inline void gfail() {
for(int i=0;i<26;i++)
if(ch[0][i])q[++tl]=ch[0][i];
register int u;
while(hd<tl) {
u=q[++hd];
for(int i=0;i<26;i++) {
if(ch[u][i]) {
fail[ch[u][i]]=ch[fail[u]][i];
q[++tl]=ch[u][i];
} else ch[u][i]=ch[fail[u]][i];
}
}
for(int i=1;i<=tot;i++)
Ae(fail[i],i);
}
void dfs(int u) {
dfn[u]=++dff,sz[u]=1;
for(int i=lst[u],v;i;i=nxt[i])
dfs(v=to[i]),sz[u]+=sz[v];
}
inline void add(int p,int v) { for(;p<=dff;p+=p&-p)tr[p]+=v; }
inline int ask(int p) { register int s=0; for(;p;p-=p&-p)s+=tr[p]; return s; }
inline int tree(int u) { return ask(dfn[u]+sz[u]-1)-ask(dfn[u]-1); }
int main() {
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) {
scanf("%s",s+1);
ins(strlen(s+1),i);
}
gfail(),scanf("%s",s+1),len=strlen(s+1);
dfs(0);
for(int i=1,u=0;i<=len;i++)u=ch[u][s[i]-'a'],add(dfn[u],1);
for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d
",tree(flg[i]));
}
一些灵活应用
可以通过反向 ( ext{dfs}) 序实现 (O(n)) 求出答案
把队列反向枚举，然后把 (fail_u) 的答案加上 (u) 的答案
因为 ( ext{bfs}) 满足深度的递增
// https://gmoj.net/senior/#main/show/4328
// https://gmoj.net/senior/#main/code/808016
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2000005;
int n,len,ch[N][26],fail[N],flg[N],tot,hd,tl,q[N],sz[N];
char s[N];
inline void ins(int le,int id) {
register int u=0;
for(int i=1,v;i<=le;i++) {
v=s[i]-'a';
if(!ch[u][v])ch[u][v]=++tot;
u=ch[u][v];
}
flg[id]=u;
}
inline void gfail() {
for(int i=0;i<26;i++)
if(ch[0][i])q[++tl]=ch[0][i];
register int u;
while(hd<tl) {
u=q[++hd];
for(int i=0;i<26;i++) {
if(ch[u][i]) {
fail[ch[u][i]]=ch[fail[u]][i];
q[++tl]=ch[u][i];
} else ch[u][i]=ch[fail[u]][i];
}
}
}
int main() {
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) {
scanf("%s",s+1);
ins(strlen(s+1),i);
}
gfail(),scanf("%s",s+1),len=strlen(s+1);
for(int i=1,u=0;i<=len;i++)u=ch[u][s[i]-'a'],sz[u]++;
for(int i=tl;i;i--)sz[fail[q[i]]]+=sz[q[i]];
for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d
",sz[flg[i]]);
}