四边形不等式

四边形不等式是一种比较生草常见的优化动态规划的方法

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定义

一般的，如果对于任意的 (a1 leq a2 < b1 leq b2)，

有 (m[a1,b1] + m[a2,b2] ≤ m[a1,b2] + m[a2,b1])，

那么 (m[i,j]) 满足四边形不等式

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优化

设 (m[i,j]) 表示动态规划的状态量

(m[i,j]) 有类似如下的状态转移方程:

(m[i,j] = min {{ m[i,k] + m[k,j] | i≤k≤j }})

(m) 满足四边形不等式是适用这种优化方法的必要条件

对于一道具体的题目，我们首先要证明它满足这个条件，一般来说用数学归纳法证明，根据题目的不同而不同。

通常的动态规划的复杂度是 (O( n^3 ))，我们可以优化到 (O( n^2 ))

定义 (s(i,j)) 为函数 (m(i,j)) 对应的使得 (m(i,j)) 取得最小值的k值。

我们可以证明，(s[i,j-1] ≤ s[i,j] ≤ s[i+1,j])

那么改变状态转移方程为:

(m[i,j] = min {{ m[i,k] + m[k,j] }|s[i,j-1] ≤ k ≤ s[i+1,j]})

复杂度分析:不难看出，复杂度决定于s的值，以求 m[i,i+L] 为例，

(( s[2,L+1] - s[1,L] ) + ( s[3,L+2] - s[2,L+1] )+ …+ ( s[n-L+1,n] - s[n-L,n-1] ) = s[n-L+1,n] - s[1,L] ≤ n)

所以总复杂度是 (O( n ))

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证明

对 (s[i,j-1] ≤ s[i,j] ≤ s[i+1,j]) 的证明:

设 (mk[i,j] = m[i,k] + m[k,j]) , $ s[i,j] = d$

对于任意 (k < d)，有 (mk[i,j] ≥ md[i,j]) ( 这里以 (m[i,j] = min {{ m[i,k] + m[k,j] }}) 为例 , max 的类似) ，

接下来只要证明 (mk[i+1,j] ≥ md[i+1,j]) ，

那么只有当 (s[i+1,j] ≥ s[i,j]) 时才有可能有 (mk[i+1,j] ≥ md[i+1,j])

证明过程：

(( mk[i+1,j] - md[i+1,j] ) - ( mk[i,j] - md[i,j] ))

(= ( mk[i+1,j] + md[i,j] ) - ( md[i+1,j] + mk[i,j] ))

(= ( m[i+1,k] + m[k,j] + m[i,d] + m[d,j] ) - ( m[i+1,d] + m[d,j] + m[i,k] + m[k,j] ))

(=( m[i+1,k] + m[i,d] ) - ( m[i+1,d] + m[i,k] ))

(ecause) (m) 满足四边形不等式

( herefore) 对于 (i < i+1 ≤ k < d)

$ $
有 (m[i+1,k] + m[i,d] ≥ m[i+1,d] + m[i,k])

( herefore) (( mk[i+1,j] - md[i+1,j] ) ≥ ( mk[i,j] - md[i,j] ) ≥ 0)

( herefore) (s[i,j] ≤ s[i+1,j]) ，同理可证 (s[i,j-1] ≤ s[i,j])

证毕

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扩展

以上所给出的状态转移方程只是一种比较一般的，其实，很多状态转移方程都满足四边形不等式优化的条件。

解决这类问题的大概步骤是:

1. 证明 (w) 满足四边形不等式，这里 (w) 是 (m) 的附属量，形如 (m[i,j] = opt {{ m[i,k] + m[k,j] + w[i,j] }})，此时大多要先证明 (w) 满足条件才能进一步证明 (m) 满足条件
2. 证明 (m) 满足四边形不等式
3. 证明 (s[i,j-1] ≤ s[i,j] ≤ s[i+1,j])