BZOJ2521[Shoi2010]最小生成树——最小割

题目描述

Secsa最近对最小生成树问题特别感兴趣。他已经知道如果要去求出一个n个点、m条边的无向图的最小生成树有一个Krustal算法和另一个Prim的算法。另外，他还知道，某一个图可能有多种不同的最小生成树。例如，下面图 3中所示的都是图 2中的无向图的最小生成树：

当然啦，这些都不是今天需要你解决的问题。Secsa想知道对于某一条无向图中的边AB，至少需要多少代价可以保证AB边在这个无向图的最小生成树中。为了使得AB边一定在最小生成树中，你可以对这个无向图进行操作，一次单独的操作是指：先选择一条图中的边 P1P2，再把图中除了这条边以外的边，每一条的权值都减少1。如图 4所示就是一次这样的操作：

输入

输入文件的第一行有3个正整数n、m、Lab分别表示无向图中的点数、边数、必须要在最小生成树中出现的AB边的标号。

接下来m行依次描述标号为1,2,3…m的无向边，每行描述一条边。每个描述包含3个整数x、y、d，表示这条边连接着标号为x、y的点，且这条边的权值为d。

输入文件保证1<=x,y<=N,x不等于y,且输入数据保证这个无向图一定是一个连通图。

输出

输出文件只有一行，这行只有一个整数，即，使得标号为Lab边一定出现最小生成树中的最少操作次数。

样例输入

4 6 1
1 2 2
1 3 2
1 4 3
2 3 2
2 4 4
3 4 5

样例输出

提示

第1个样例就是问题描述中的例子。

1<=n<=500,1<=M<=800,1<=D<10^6

根据$kruskal$的原理，要使一条边能被选取，那么就要保证将边权小于等于这条边的所有边加入到图中后这条边的两端不连通。题目中的操作非常麻烦，我们将它看作是将选定边的边权$+1$，其他边的边权不变。那么就要使一些原本边权小于等于指定边的边的边权比指定边大来使指定边两端点不连通。我们可以建立最小割模型，将边权小于等于指定边的边加入图中(建双向边)，流量为$d[lab]-d[i]+1$，表示需要操作这么多次使这条边从图中删除(当边权比指定边大时，这条边就不在考虑范围内了，可以看做是将这条边删除)。源汇点就是指定边的两端点，那么就相当于割掉一些边使源汇点不连通且使割掉边的边权和最小(也就是最小割模型)。利用最小割等于最大流定理直接求最大流即可。

#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int head[600];
int next[4000];
int to[4000];
int val[4000];
int tot=1;
int n,m;
int S,T;
int id;
int q[600];
int d[600];
int u[1000],v[1000],a[1000];
void add(int x,int y,int z)
{
	next[++tot]=head[x];
	head[x]=tot;
	to[tot]=y;
	val[tot]=z;
	next[++tot]=head[y];
	head[y]=tot;
	to[tot]=x;
	val[tot]=0;
}
bool bfs(int S,int T)
{
	memset(d,-1,sizeof(d));
	memset(q,0,sizeof(q));
	int l=0,r=0;
	q[r++]=S;
	d[S]=0;
	while(l<r)
	{
		int now=q[l];
		l++;
		for(int i=head[now];i;i=next[i])
		{
			if(val[i]&&d[to[i]]==-1)
			{
				d[to[i]]=d[now]+1;
				q[r++]=to[i];
			}
		}
	}
	return d[T]==-1?false:true;
}
int dfs(int x,int maxflow)
{
	if(x==T)
	{
		return maxflow;
	}
	int used=0;
	int nowflow;
	for(int i=head[x];i;i=next[i])
	{
		if(val[i]&&d[to[i]]==d[x]+1)
		{
			nowflow=dfs(to[i],min(maxflow-used,val[i]));
			val[i]-=nowflow;
			val[i^1]+=nowflow;
			used+=nowflow;
			if(nowflow==maxflow)
			{
				return maxflow;
			}
		}
	}
	if(used==0)
	{
		d[x]=-1;
	}
	return used;
}
int dinic()
{
	int res=0;
	while(bfs(S,T))
	{
		res+=dfs(S,0x3f3f3f3f);
	}
	return res;
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&id);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&u[i],&v[i],&a[i]);
	}
	S=u[id],T=v[id];
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		if(a[i]<=a[id]&&i!=id)
		{
			add(v[i],u[i],a[id]-a[i]+1);
			add(u[i],v[i],a[id]-a[i]+1);
		}
	}
	printf("%d",dinic());
}