线性求逆元推导

本篇介绍线性求逆元的推导过程

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·对于一个质数(P),我们需要求出(1-N)在(mod P)意义下的逆元,如何使用线性的方法求其逆元呢?

·首先,我们设(t=P/i,k=P\%i);

·对于(i*t+k≡0 pmod{P}),我们可以做出如下推导:

·等式两边同时除以(i*k),我们可以得到新式子(frac{t}{k}+frac{1}{i}≡0 pmod{P});

·从而得到:(frac{P}{i}*inv[P\%i]+inv[i]≡0 pmod{P});

·最后得到(inv[i]=(-frac{P}{i}+P)*inv[P\%i]%P);

(code:)

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;

const int maxn=(1e7*2)+2;
ll n,p,inv[maxn];
inline ll add(ll a,ll b){return a+b<p?a+b:a+b-p;}
inline ll mul(ll a,ll b){return a*b<p?a*b:a*b%p;}

int main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&p);inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++) inv[i]=mul(add(-p/i,p),inv[p%i]);
}