这篇 是 以前 计划 要写的， 本来 要 构思好了 正式写， 现在为了来 民科吧 闹一闹， 只好 先写个 逗比版 。
玩法一
大家都知道， ʃ 1 / 根号 ( 1 - x ² ) dx = arcsin ( x )
那 ， ʃ 1 / 根号 ( 1 + x ² ) dx = ？
可以这样，
ʃ 1 / 根号 ( 1 + x ² ) dx
= ʃ 1 / 根号 ( 1 - ( i * x ) ² ) dx ， i 是 虚数单位 根号 ( -1 )
= 1 / i * ʃ 1 / 根号 ( 1 - ( i * x ) ² ) * i * dx
= 1 / i * ʃ 1 / 根号 ( 1 - ( i * x ) ² ) d ( i * x )
= 1 / i * ʃ 1 / 根号 ( 1 - ( i x ) ² ) d ( i x )
= 1 / i * arcsin ( i x )
ʃ 1 / 根号 ( 1 + x ² ) dx = 1 / i * arcsin ( i x )
玩法二
试用 群论 证明 积分 ʃ 1 / 根号 ( 1 + x ² ) dx 有没有 解析解 。
玩法三
试用 群论 证明 微分方程 y4 + y3 + y = sin x 有没有 解析解 。
y4 是 4 阶导数， y3 是 3 阶导数 。
本文 已 发到 民科吧 《复数 和 群论 的 一个 玩法 （逗比版）》 https://tieba.baidu.com/p/7980305979 。
14 楼
回复 11 楼 @czbtdmk
y^4
= y^3 * y^1
= y^3 * y^( - i * i ) ， i 是 虚数单位 根号 ( -1 )
= y^3 * y^( i * 1 / i )
= ……
因为 - i * i = i * 1 / i ， 所以， - i = 1 / i 。
给 虚数 一个 维度， 一个 虚数 给 一个 维度， 两个 虚数 给 两个 维度， 三个 虚数 给 三个 维度 …… n 个 虚数 给 n 个 维度， 一个 普通 的 代数式 可以 扩展 到 n 维 虚数空间， 或者说 复空间， 这 称为 “复平面大法” 。
a + b i 和 a + b i + 根号 ( c + d i ) 并不能 化为 等价， 比如 代入 方程 进行变换， 也就是说， a + b i 和 a + b i + 根号 ( c + d i ) 在 理论上 并不等价 。
a + b i 有 一个 虚数， 对应 一个 虚数维度， a + b i + 根号 ( c + d i ) 有 两个 虚数， 对应 两个 虚数维度 。
a + b i 和 a + b i + 根号 ( c + d i ) 是否 都 属于 “复数” ？ 还是 复数 的 两个品种 ？
实际上， 还有 a + 根号 ( c + d i ) ， a + i * 根号 ( c + d i ) 这样的， 它们 有 几个 实数维度， 几个 虚数维度， 都 大有名堂 。
sin ( a + b i ) 的 结果 是否 还是 a + b i 的 形式， 这需要 定义规则 。
在 实数范围 内， 两个 代数表达式 如果 等价， 按理， 可以 通过 推导变换 互相转换， 即 可以 从 一个 表达式 推导出 另一个 表达式 。
这里 的 代数表达式 包括了 初等函数 和 无穷级数 。
就算 不知道 怎么 推导， 也可以 代入 数值 计算比较 。
但是 如果 包括了 虚数， 情况 就 不同了 。 对于 结构 不同 的 复数， 比如 a + b i 和 a + b i + 根号 ( c + d i ) ， 代入 数值 计算 也 无法 比较 。
因为 这些 复数 的 虚数 位于 不同 的 维度， a + b i 的 一个 虚数 和 a + b i + 根号 ( c + d i ) 的 两个 虚数 分别 位于 三个维度， 每个 虚数 一个 维度 。
你也许 会说， 把 一个 维度 的 值 转换 为 另一个 维度 的 值， 就可以 和 另一个维度 比较 了 。 但是 不同 的 维度 的 值 怎么转换 ？ 你 能把 x 轴 的 值 转换成 y 轴 的 吗 ？ 把 x 坐标 转换 为 y 坐标 ？
不同 维度 代表 不同 的 意义 ， 对 复数 来说， 这个意义 似乎 是 表达式 （结构） 固有 的 。
初等函数 可以 表示 为 泰勒级数， 这样， a + b i + 根号 ( c + d i ) 的 根号 可以展开为 n 次 多项式， n -> 无穷 。 a + b i + 根号 ( c + d i ) 可以 化为 a + b i 的 形式， a, b 为 无穷级数， 也是 超越数 。
但 事情 并不是 就 这样简单， 比如 多个周期 的 三角函数 显然 不能 表示 为 泰勒级数， 于是， a + sin ( c + d i ) ， a + i * sin ( c + d i ) ， a + b i + sin ( c + d i ) 还是 可能 有 多个 虚数维度 。 a + sin ( c + d i ) 可以 是 2 个 实数维度， 一个 虚数维度 。
基本运算 是 加减乘除乘方开方， 最终 归到 加法 。
基本数 是 实数， 最终 归到 计数， 计数 包括 大小 和 衡量 。
负数 不能开平方， 因此 虚数 不能 融入 基本运算 和 基本数， 是 一个 特殊 的 独立 的 项， 数学家 抓住了这一点， 像 抓住了 宝， 发展 衍生 出 各种各样 的 复数 玩法， 这些 玩法 让 数学 的 内容 更加 丰富， 如果 只有 微积分， 总是 单薄一些 。 代数 和 几何 加上 复数， 就像 加了 鸡粉 耗油， 登时 饱满华丽 起来 。
有人说， 你 不承认 虚数， 干嘛 承认 负数， 言下之意 是 承认 负数 当然 也 理应 承认 虚数 。
大家 比较 一下 负数 和 虚数 的 区别 。
知道了 负数 和 虚数 的 区别， 就会知道， 数学家 发现 方程 有 虚数根， 就像 发现了 宝， 欢欣鼓舞， 欢呼着 奔走相告， 寻找 虚数根 的 意义， 这 已经 是 空中楼阁 了， 物理 上 寻找 虚数根 的 意义， 就 更是 毫无根据 。
18 楼
群论 是 数学 的 元语言， 就是 研究 数学 的 数学， 来， 把 积分 和 微分方程 的 结构 抽象出来， 证明 有没有 解析解 ？
19 楼
《数学吧《每日一题，day14》 从 A 点 到 B 点 有 多少 条 路径 ？》 https://tieba.baidu.com/p/7686683940 5 楼 提到了 “公式障碍” ， 哪些 数列和 不能 归纳为 公式 ？ 这是个 问题， 这个问题 是 数列和定理 的 一部分 。 试用 群论 证明 哪些 数列和 不能 归纳为 公式 。
20 楼
群论 能 窥得 五次方程 三等分角 的 玄机， 看穿 积分式 和 微分方程 也 不在话下 吧 ？
34 楼
试 将 三体问题 抽象 为 一个 三体群 ？
若 三体问题 用 张量 协变 联络 描述， 三体问题 的 问题本身 和 张量 协变 联络 这些 数学工具 在 三体群 里 会 被 抽象 成 什么 ？
我 在 《与 @上官苏 同学 的 学习对话》 https://tieba.baidu.com/p/7986574949 9 楼 说了 平方和 公式， 推导 平方和公式 不只 一种思路， 能不能 推导出来 先不管 。
本帖 19 楼 说到 数列和定理， 平方和公式 也和 数列和定理 有关， 来 ， 群论， 玩一把 ？
平方和 公式 包括
任意数 的 平方和 ， a ² + b ² + c ² + d ² + ……
自然数 的 平方和 ， 1 ² + 2 ² + 3 ² + 4 ² + ……
自然数 平方和 比较容易 。
群论 是 现代数学 当代数学 当今数学 的 代表之一， 已经发展到 高深 前沿 超出常人想象， 连 平方和公式 这样 古典 的 问题 也 玩不转 吗 ？
万能 的 群论 ？