• 做一道 高一 求 函数 值域 的 题


    网友 暮色星辰ing (Suzuha)   在 数学吧 发了一个 帖,  提问了一道 题,  这道题 是  

     

    g(x) = 5 / ( 2^x + 1 ) - 2   ,    x ∈ [ 0, 2 ]    ,     y = [ 2 + g(x) ]  [ 1 / g ( -x ) - 2 ]     ,     求 y 的 值域    。

     

    我做了一下,

     

    我化简 得到 的 函数式 是   y = -25 * (2^x - 1) / [ (2^x + 1) (3 * 2^x - 2) ]  ,  和 29 楼 一样,

    当 x = 0 时, y = 0,  

    当 x = 2 时 , y = -1.5,

     

    不知道 29 楼 的 根号 6 是 哪里 冒出来 的,   

    渝中寿人    寿人 老师 拼命 的 求导数, 是不是 要 确定 y 的 极值点, 并以此 来 判断 x 在 [ 0, 2 ] 区间 里的 单调性 ?

     

    回复 34 楼  渝中寿人 寿人 老师 新年好 。  

    这题 的 函数式 可以 进一步 化为 y = ( 2^x - 1 ) / ( 3 * 2^2x + 2^x - 2 ) ,

    如果 这题 是 一个 高中题, 应该 可以 把 函数式 中的 一些项 消掉 变成一个 简单 函数, 比如 不是 分式, 但 看起来 好像 消不掉 。

    如果 是 求导数 来 判断 极值, 那个 导数 求出来 大概 也很难 解 出 导数 为 0 时 的 x 。

    So …… ?

     

    接 37 楼 ,

    如果 分母 是 2^2x - 2 * 2^x + 1 , 那么 可以 化成   ( 2^x - 1 ) ²    ,  那么 就是

     

    y = ( 2^x - 1 )  /   ( 2^x - 1 ) ² 

    =  1 /  ( 2^x - 1 )

     

    这样 用 高中 的 知识也可以 判断 [ 0, 2 ]  区间 里 的 单调性 , 可以 先 判断  2^x - 1 的 单调性, 再 判断 其 倒数 的 单调性    。

     

    等等   。

     

    37 楼 和 本楼 的 函数式 少了 系数  -25 ,不过这没关系, 乘上 一个 负系数 只是 让 单调性 反转   。

     

    后来 楼主 公布了 答案 ,   我 按照 答案 的 思路 做了一遍    。

    这样  ?

    y = 3/u + 2u - 7              (1)式

    yu = 3 + 2 u ² - 7u            

    2 u ² -  ( 7 + y ) u + 3 = 0         (2)式

     

    u1 = 【 7 + y  +  根号 [ (7 + y) 2 - 24 ] 】/ 4

    u2 = 【 7 + y  -  根号 [ (7 + y) 2 - 24 ] 】/ 4

     

    当 u1 = u2   时,    y 取 极值  ,

    【 7 + y +  根号 [ (7 + y) 2 - 24 ] 】/ 4  = 【 7 + y -  根号 [ (7 + y) 2 - 24 ] 】/ 4

    根号 [ (7 + y) 2 - 24 ] = -  根号 [ (7 + y) 2 - 24 ] 

    2 *  根号 [ (7 + y) 2 - 24 ]  = 0

    (7 + y) 2 - 24  =   0

    7 + y = +(-)   2 * 根号( 6 )

    y =  +(-)   2 * 根号( 6 ) - 7

     

    y1 = 2 * 根号( 6 ) - 7

    y2 = - 2 * 根号( 6 ) - 7

     

    把 y1 代入   (1)式,  得 u = 根号( 6 ) / 2  ,

    把 y2 代入   (1)式,  得 u = - 根号( 6 ) / 2  ,

     

    因为 u ∈ [ 1/2 , 2 ]   ,    y1 得到 的 u = 根号( 6 ) / 2 在  [ 1/2 , 2 ]  内,  y2 得到 的 u = - 根号( 6 ) / 2  不在  [ 1/2 , 2 ] 内,

     

    所以, 取 y1,   y1 是  u ∈ [ 1/2 , 2 ]  内 的 极值点,

     

    因为 当 u = 1/2 时 , y = 0,  当 u = 2 时 , y =  - 1.5  ,

    0 和  -1.5  均  大于  y1 =  2 * 根号( 6 ) - 7  ,  所以  y1 是 u ∈ [ 1/2 , 2 ]  内 的 最小值,

     

    所以, y 在 u ∈ [ 1/2 , 2 ] 内 的 值域 是 [ 2 * 根号( 6 ) - 7 , 0 ] 。

     

    因为 有 y1, y2,  所以,  y 在 y1, y2  都是 局部 极值, 或者说 峰值(谷值)  。

    y1 对应 的 u = 根号( 6 ) / 2  ,

    y2 对应 的 u = - 根号( 6 ) / 2      。

     

    看来,  二次函数 或者 二次方程 才是 高中 判断 极值 的 主流 啊  ! 

     

    补上  (1)式   的 推导过程 : 

     

    首先 证明  g(x) + g(-x) = 1  。

     

    g(x) + g(-x) = 5 / (2^x + 1) - 2 + 5 / (1/2^x + 1) - 2

    = 5 / (2^x + 1) - 2 + 5 / [ (1 + 2^x) / 2^x ] - 2

    = 5 / (2^x + 1) - 2 + ( 5 * 2^x ) / ( 1 + 2^x ) - 2

    = 5 / (2^x + 1) + ( 5 * 2^x ) / ( 2^x + 1 ) - 4

    = ( 5 + 5 * 2^x ) / (2^x + 1) - 4

    = 5 * (2^x + 1) / (2^x + 1) - 4

    = 5 - 4

    = 1

     

    根据   g(x) + g(-x) = 1  ,    可得   g(-x) = 1 - g(x)    ,

     

    令 t = g(x) ,   则  g(-x) = 1 - t ,      y = (2 + t) [ 1 / (1 - t) - 2 ] , t ∈ [ -1, 1/2 ] ,

     

    y = (2 + t) * 1 / (1 - t ) - 4 - 2t

    = - (2 + t) * 1 / (t - 1 ) - 4 - 2t

    = - (2 + 1 + t - 1) / (t - 1 ) - 4 - 2t + 2 - 2

    = - (3 + t - 1) / (t - 1) - 4 - 2 (t - 1) - 2

     

    令 u = 1 - t , u ∈ [ 1/2 , 2 ] ,

    y = (- 3 + u) / -u - 4 + 2u - 2

    = 3 / u - 1 - 4 + 2u - 2

    = 3 / u + 2u - 7

     

    这就可以推导出 Suzuha 给出的 y = 3 / u + 2u - 7 , u ∈ [ 1/2 , 2 ] 。

     

    还可以用 一元二次方程 判别式  Δ = b ² - 4 a c     来 判断 y = 3/u + 2u - 7 的 极值,  将 y = 3/u + 2u - 7 去 分母 化为 u 为 未知数 的 一元二次方程 ,  即 (2)式,  

    当 Δ > 0 时, 方程 有 2 个 实根,

    当 Δ = 0  时,  方程 有 1 个 实根,  此时  y 取极值 ,

    Δ = 0   就是 上文 的   u1 = u2  ,     u1 = u2  推出 的 就是  Δ = 0  。

     

    还可以用 不等式  a + b >= 2 根号 ( a b )    来 判断  y = 3/u + 2u - 7   的  最小值  ,  

    y = 3/u + 2u - 7 >= 2 根号 (3/u * 2u ) - 7 = 2 根号 ( 6 ) - 7      。

     

    不等式 a + b >= 2 根号 ( a b )   可以用 平方和 公式  ( a + b ) ² = a ² + 2 a b + b ²    推出,    按照  渝中寿人 老师 的 说法, 这个不等式 在  a > 0 , b > 0 时 成立 。

    当 a != b 时,  a + b > 2 根号 ( a b )   ,

    当 a = b 时,  a + b = 2 根号 ( a b )  。

     

    当然, a = 0 ,  b = 0  时,    这个 不等式 也成立, 此时,  a + b = 2 根号 ( a b ) =  0       。

     

     

    Suzuha    又 发了 一个 帖 《大家的做题热情实在是高 故开新帖继续做题》  http://tieba.baidu.com/p/6460902864   ,  出了一个 新的 题 ,

    新 的 这道题 可以 再做做看, 但 不一定 做的出来, 因为这种题 可能 技巧性 很强, 比如 现在的 这道题 如果不知道 g(x) + g(-x) = 1 , 那就 做不出来, 嘿嘿 。

     

     

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