根据 匀速圆周运动 向心力 公式， 可以计算出 第一宇宙速度， 同样的道理， 可以计算出 卫星 在 轨道半径 r 处 的 公转 速度 v 。
卫星 绕 地球 公转 可 看作 是 匀速圆周运动， 所以， 设 地球 质量 为 M， 卫星 质量 为 m， 轨道半径 为 r， 将 地球 和 卫星 看作 质点， r 是 地心 到 卫星 的 距离 。
地球 对 卫星 的 引力 F引 = G M m / r²
卫星 公转 匀速圆周运动 的 向心力 F向 = m v² / r
因为 F引 = F向 ，
所以 G M m / r² = m v² / r ，
v = ( G M / r ) 开方 ， 这就是 卫星 的 轨道公式， 呵呵呵 。 设 轨道半径 为 r， 则 卫星 的 公转速度（线速度） v = ( G M / r ) 开方 。
就是说， 要 让 卫星 在 轨道半径 为 r 的 轨道 上 绕 地球 公转， 卫星 的 线速度 v = ( G M / r ) 开方 。
所以， 要把 卫星 送入 半径 为 r 的 轨道， 一个 主要 步骤 是 让 卫星 在 r 处 的 速度 v = ( G M / r ) 开方， 且 速度方向 是 轨道 的 切线方向（垂直于 卫星 和 地心 的 连线 的 方向） 。
这个 步骤 由 末级火箭 来 完成 。 对 末级火箭 的 控制 应该算 精密控制 技术 吧， 哈哈 。
对于 自然界 中的 天体 来说， 比如 太阳 和 地球， 以及 9 大行星， 彗星， 就以 地球 和 太阳 为例， 如果 地球 要以 匀速圆周运动 围绕 太阳 公转， 即 地球 公转 轨道 是 圆形， 则 需要 地球 在 距离 太阳 r 时， 速度 刚好 是 v = ( G M / r ) 开方 ， 且 速度方向 是 轨道 的 切线方向（垂直于 地球中心 和 太阳中心 的 连线 的 方向） ， 显然， 在 自然界 中， 这样的 概率 很小 。
所以， 天体 的 轨道 很少 是 正圆， 普遍 是 椭圆 。 但 这个 “椭圆” 可以说 不是 严格 的 椭圆， 而是一个 近似 椭圆 的 环线 。
环线 就是指 不是 封闭 的， 即 行星 下次 公转 的 轨道 和 本次 公转 的 轨道 不是 完全重合 的， 会 有 一点 偏离， 偏离 后 仍然 是 一个 近似 椭圆 的 环线 。
这种 现象 其实 就是 “进动” 。
天体 的 进动 有 著名 的 “水星进动” 和 地球 的 “岁差” ， 等等 。
现在 对 岁差 的 解释 是 地球 自传轴 倾斜方向 的 进动， 注意 是 倾斜方向， 不是 倾斜角度 。
但 岁差 也可以用 地球 公转轨道 的 进动 来 解释 ， 因为 地球 公转轨道 的 进动 也可以 产生 岁差 的 效果 。
岁差 的 效果 就是 明年 的 今天 面向太阳 的 角度 比 今年 的 今天 面向太阳 的 角度 有一点 偏移 。
上面这些 也可以 概括 为 ： 公转轨道 没有 椭圆轨道 ， 椭圆形 的 公转轨道 是 不存在 的 ， 理论上， 公转轨道 可以是 正圆， 或 存在 进动 的 近似 椭圆 环线 。
我们可以在 逻辑 上 来 证明 这一点， 这 算不算 一个 定理 ？
我们 把 恒星 和 行星 看作 2 个 质点， 为了便于讨论， 将 恒星 命名 为 质点 A， 行星 命名 为 质点 B， 其实 行星 和 卫星 的 关系 也是 一样 。
设 A 的 质量 远大于 B 的 质量， B 对 A 的 引力 对 A 的 影响 很微小， 可以 忽略， 即 A 是 “固定” 的， 或者说 A 是 惯性系 。
设 A 的 质量 为 M， B 的 速度 为 v， AB 长度 为 r， 由 上面 的 讨论 可知， 只有 v = ( G M / r ) 开方， 且 速度方向 是 轨道 的 切线方向（垂直于 卫星 和 地心 的 连线 的 方向） 时， B 才会 以 r 为 半径 围绕 A 进行 匀速圆周运动， 否则， B 将会以 r 变大 或 变小 的 两种 可能 继续 飞行 。
设 A 、B 不会相撞 且 B 不会 从 A 逃逸（当 r -> 无穷 时， v < 0 。 v > 0 表示 远离 A 的 方向， v < 0 表示 靠近 A 的 方向 。 当然， 这里 的 v 是 以 A 为 极点 的 极坐标系 里 的 v， 上文 中 的 v 是 以 A 为 原点 的 直角坐标系 的 v） ， 则 B 的 飞行 轨迹 总在 尝试 寻找 满足 v = ( G M / r ) 开方， 且 速度方向 是 轨道 的 切线方向（垂直于 卫星 和 地心 的 连线 的 方向） 的 状态， 我们将这个 状态 称为 “匀速圆周状态” 。 若 B 找到 匀速圆周状态， 则 B 会 围绕 A 匀速圆周运动 ， 若 找不到 这个 状态， 则 会 不停 的 改变 相对于 A 的 切向 和 法向 速度 以及 AB 的 距离 r 继续 寻找 匀速圆周状态 。
接下来 讨论 寻找 匀速圆周运动 的 运动轨迹 。 假设 v r 满足 匀速圆周状态， 则 B 围绕 A 匀速圆周运动， 运动轨迹 是 一个 以 A 为 圆心 的 正圆，
设 在 (x, y) 处 满足 匀速圆周状态 的 v 为 v圆 ， 则， 对于 (x, y) 处 的 B， 若 v = v圆， 则 作 以 A 为 圆心 的 匀速圆周运动， 运动轨迹 是 以 A 为 圆心 的 正圆，
若 v != v圆， 即 v 与 v圆 有 偏差， 则 运动轨迹 与 v圆 时 的 运动轨迹 有 偏差， 即 与 正圆 有 偏差， 这个 偏差 反映 为 正圆 的 圆周 曲线 被 拉伸 或 压缩 ， 正圆 的 圆周曲线 被 拉伸 或 压缩 即为 椭圆曲线 。
好吧， 说到这里， 我也不能从 逻辑 上 证明 公转轨道 没有 椭圆轨道 。 哈哈哈 。
没办法， 还是 只好 用 模拟 的 办法， 我之前 写过 一个 二体模拟程序 和 一个 n 体模拟程序， 见 《我写了一个 二体 模拟程序， 大伙来看看吧》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/11581879.html ， 《我写了一个 n-体 模拟程序， 大伙来看看吧》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/11626271.html 。
我把 二体模拟程序 修改了一下， 改成了 一体模拟程序， 一体 和 二体 的 区别 是 一体 的 两个质点 中 的 一个质点 是 “固定” 的 。
一体问题 又称为 理想公转问题 。
一体模拟程序 的 项目地址 是 ： https://github.com/kelin-xycs/One-Body ， 进入 项目页面 后， 点击 右边 的 绿色按钮 “Clone or download” 就可以下载 项目代码 了， 项目 只有一个 One-Body.html 文件， 用 浏览器 打开 就可以 运行 。
可以 设置 不同 的 参数 来 演示， 可以看到， 椭圆轨道 还真的 存在， 而且 是 普遍存在 。 可以说， 除了 碰撞 和 逃逸， 一体问题 存在 周期性 的 通解， 通解 是 椭圆轨道， 正圆 算是 椭圆 的 特例 。 具体的， 可以说， 除了 碰撞 和 逃逸， 一体 里 的 质点 B 以 任意 的 初始位置 和 初始速度 开始运动， 运动轨迹 总是 一个 椭圆， 匀速圆周运动 的 正圆轨道 算是 椭圆 的 特例 。
如果 质点 A 不是 “固定” 的， 就变成了 二体问题， 二体 中， 若以 A 为 参照系， B 的 轨迹 仍然 是 椭圆， 但 相对于 第三方 参照系， B 的 轨迹 不是 椭圆， 而是 存在 进动 的 类椭圆 环线 。
所以， 对于 天体 的 公转， 以 水星进动 为例， 如果 不考虑 其它 天体 对 太阳 和 水星 的 引力作用， 或者说， 在 一个 理想场景 中， 只有 太阳 和 水星 2 个 物体， 则 如果 以 太阳 为 参照系， 水星 的 公转轨道 没有 进动， 但 相对于 第三方 参照系， 水星 的 公转轨道 存在 进动 。
如果 从 数学 上 来 证明， 以 质点 A 为 坐标系 原点， 可以给出一个 方程组 ：
d²x / dt² = - G M m / (x² + y²) / m * x / (x² + y²)开方
d²y / dt² = - G M m / (x² + y²) / m * y / (x² + y²)开方
化简 得：
d²x / dt² = - G M / (x² + y²) 3/2次方 * x
d²y / dt² = - G M / (x² + y²) 3/2次方 * y
这就是 一体问题 的 微分方程组， 解这个 微分方程组 估计 有 难度 。
当然， 也可以对 这个 微分方程组 定性分析 。
我们可以来 研究 一体问题 里 的 一个 特例， 这跟 逃逸 有关 。 这个 特例 就是 B 的 初速度 是 相对于 A 的 法线 方向， 即 AB 方向， 也可以说 B 相对于 A 没有 切线方向 的 速度分量 。 具体的说， 就是 B 的 初速度 方向 在 AB 直线 上 。
这个 特例 我们 称之为 直线运动特例， 简称 直线特例 。
在 直线特例 中， 设 B 的 初速度 为 V₀ ， 如果 V₀ 方向 是 靠近 A 的 方向， 则 结果 就是 A B 碰撞， 如果 V₀ 方向 是 远离 A 的 方向 ， 则 可能 逃逸， 如果 不逃逸， 就是 向 远离 A 的 方向 直线运动 一段时间 后， 速度 被 引力 减速 为 0， 然后 又 逐渐 被 引力 加速， 向着 A 加速运动， 最终 和 A 碰撞 。
如果 不考虑 碰撞， 即 把 A B 看成是 理想 的 点， 可以 “重叠”， 也可以说 把 A B 看成 几何 上 的 点， 则 B 向 A 加速运动 到达 A 时， 会 经过 A ， 继续 前进 远离 A， 而 经过 A 之后， 引力 方向 和 速度 方向 相反， 引力 开始 对 速度 减速， 当 速度 减 到 0 后， 引力 会 对 B 加速， 使 B 向 A 加速运动， 这就形成了 一个 周期性 的 运动， 类似 简谐运动 。
但 其实 这样说也存在问题， 几何 上的 2 个 点 重叠 的 时候， 距离 为 0， 引力 无穷大， 在 B 靠近 A 时， 无穷大 的 引力 可以 把 B 的 速度 加速到 无穷大， 在 B 远离 A 时， 无穷大 的 引力 可以 把 速度 减速 到 0， 这里说的 B 靠近 A 和 B 远离 A 是指 趋势， 因为 当 A B 重叠 时， 引力方向 变成了一个 点， 已经 不存在 了 。 所以 需要 从 B 无限接近 A 的 角度 来看， 当 A B 间 距离 无限小 时， 存在 B 靠近 A 或 B 远离 A 。 这是一个 极限问题 。
实际中 用 计算机 程序 模拟 B 的 运动 时， 会用 一段 具体 的 时间 来 模拟 微分时间 dt， 这样的话， 就 避免 了 理论 上 A B 距离 无限小 和 A B 重叠 的 问题， 这样 可以 模拟 出 周期性 运动 的 效果， 类似 简谐运动 。 还要 加上一点， 如果 A B 刚好 重叠， 则 不作处理， 不加速 B ， 也不减速 B 。
直线特例 用 一维坐标系 就可以 研究 。 设 A 为 坐标系 原点， AB 为 x 轴， AB 方向 为 x 轴 正方向 （远离 A 的 方向 是 正方向） 。
直线特例 的 微分方程 是 ：
d²x / dt² = - G M m / x² / m
化简 得 ：
d²x / dt² = - G M / x²
严格 的 说， 这是 B 在 正半轴 的 运动方程， 在 负半轴 的 运动方程 要 把 等号右边 的 负号 去掉， 即 d²x / dt² = GM / x² 。
但是 我们 研究 正半轴 的 情形 就可以 。
解这个 微分方程 ：
两边同时乘以 2 * dx / dt ， 2 * dx / dt * d²x / dt² = - 2 * dx / dt * GM / x²
d (dx / dt)² / dt = - 2 G M * dx / dt / x²
两边对 dt 积分 ， (dx / dt)² = ∫ - 2 G M / x² dx
(dx / dt)² = - 2 G M ∫ 1 / x² dx
(dx / dt)² = - 2 G M ( -1 / x + C )
(dx / dt)² = 2 G M * 1 / x - 2 G M * C
令 dx / dt = V₀ ， x = X₀ ， 则 C = 1 / X₀ - V₀² / 2 G M ， V₀ 是 B 的 初始速度 ， X₀ 是 B 的 初始位置 。
代入 C ，
(dx / dt)² = 2 G M * 1 / x - 2 G M / X₀ + V₀² (1) 式
dx / dt = ( 2 G M * 1 / x - 2 G M / X₀ + V₀² ) 开方 (2) 式
1 / ( 2 G M * 1 / x - 2 G M / X₀ + V₀² ) 开方 * dx = dt
两边积分 ，
∫ 1 / ( 2 G M * 1 / x - 2 G M / X₀ + V₀² ) 开方 * dx = ∫ dt
∫ 1 / ( 2 G M * 1 / x - 2 G M / X₀ + V₀² ) 开方 * dx = t
只要 把 ∫ 1 / ( 2 G M * 1 / x - 2 G M / X₀ + V₀² ) 开方 * dx 这个 积分 求出来， 就可以 解 这个 方程 了 。
令 2 G M / X₀ - V₀² = a ， 2 G M = b ，
则 ∫ 1 / ( 2 G M * 1 / x - 2 G M / X₀ + V₀² ) 开方 * dx = ∫ 1 / ( b / x - a ) 开方 * dx ， G 、M 、a 、b 为 常数 。
把 ∫ 1 / ( b / x - a ) 开方 * dx 求出来 就可以 ， G 、M 、a 、b 为 常数 。
但 ∫ 1 / ( b / x - a ) 开方 * dx 这个 积分 积了两天 没积出来， 不积了 。 大家有兴趣可以试试 。
在 网上 搜索 看到一篇 《求根号下（1-x/x）的不定积分》 https://www.zybang.com/question/4104f5613cf5dd0cb4e817a8ab8a6670.html ， 可以参考 。
上面 这个 微分方程 的 解法 参考了 简谐运动 的 微分方程 的 解法 。
虽然 没有 完全 解出 这个 微分方程 ， 但根据 (2) 式 dx / dt = ( 2 G M * 1 / x - 2 G M / X₀ + V₀² ) 开方 可以 得出 逃逸 条件 ，
设 当 B 的 速度 v -> 0 时， B 的 位置 x -> 无穷 ，
则 dx / dt = v -> 0 ， 2 G M * 1 / x -> 0 ， 代入 (2) 式 得 ：
0 = - 2 G M / X₀ + V₀²
V₀² - 2 G M / X₀ = 0 (3) 式
根据 (3) 式 V₀² - 2 G M / X₀ = 0 可知， 当 V₀ = ( 2 G M / X₀ ) 开方 时， B 将 飞向 无限远处， 当 B 飞向 无限远处 时， 速度 趋于 0 。
当 V₀ > ( 2 G M / X₀ ) 开方 时 ， B 将 从 A 逃逸 。
这个 推论 可以 称为 直线特例逃逸条件 。
上面 从 (1) 式 到 (2) 式 的 时候， (1) 式 等号右边 开平方 只 取了 正根， 没有 取 负根， 如果取 负根， 则 有
dx / dt = - ( 2 G M * 1 / x - 2 G M / X₀ + V₀² ) 开方 (4) 式
(2) 式 和 (4) 式 的 区别 是 (4) 式 的 等号 右边 多了一个 负号 。
我想 (4) 式 的 意义， 或者说 负根 的 意义 是 B 远离 A 的 速度 衰减 为 0 之后， 在 引力 作用 下 向 A 加速运动 的 这一段 过程 。 dx / dt = v = 负根， 这表示 速度 v 是 负数， 速度 是 负数 表示 速度方向 是 正半轴 上 靠近 A 的 方向 。
所以， 在 正半轴 上， B 远离 A 的 阶段 用 (2) 式 的 积分 来 描述， B 靠近 A 的 阶段 用 (4) 式 的 积分 来 描述， 是不是这样 ？
2019 年 12 月 5 日 加 ：
上文的 积分 ∫ 1 / ( b / x - a ) 开方 * dx 已经 由 反相吧 网友 fz8zi8 求出， 见 我在 反相吧 里 发的 帖 《∫ 1 / ( b / x - a ) 开方 * dx 这个 积分 怎么求 ？》 http://tieba.baidu.com/p/6371150964 的 2 楼 3 楼 ，
∫ 1 / ( b / x - a ) 开方 * dx = 1/2*(-(-b+a*x)/x)^(1/2)*x*(-2*a^(1/2)*(-(-b+a*x)*x)^(1/2)+b*atan(1/2/a^(1/2)*(2*a*x-b)/(-(-b+a*x)*x)^(1/2)))/(-(-b+a*x)*x)^(1/2)/a^(3/2) ， 省略了 积分常数 C 。
根据 这个 积分 可以 求出 直线特例 的 微分方程 的 解， 这个 解 是 质点 B 的 位置 x 和 时间 t 的 函数， 记为 x = f(t) ， 根据这个 解 可以 求出 质点 B 在 时刻 t 的 位置 x 。
对 x = f(t) 求导， dx / dt = f ′ (t) 就是 质点 B 在 时刻 t 的 速度 v 。
也可以 根据 x = f(t) 求出 时刻 t 的 x， 把 x 代入 (2) 式 求出 dx / dt ，即 速度 v 。