BZOJ 4557 JLOI2016 侦查守卫 树形dp

题目链接：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4557

题意概述：

　　给出一棵树，每个点付出代价w[i]可以控制距离和它不超过d的点，现在给出一些点，问控制这些点的最小代价是多少。

分析:

　　观察一下数据范围发现算算法的复杂度可能和d有关。横看竖看这像是一个树形dp，所以我们就把d搞到状态方程里面去嘛怎么就完全没有想到呢......

　　既然要用树形dp，就要先分析一下性质。

　　一个点如果被选择成为控制点，那么它可以控制的点有：子树中深度不超过d的点，祖先中和它距离不超过d的点，以及祖先的子树中的一些点。

　　感觉很麻烦的样子......因为对于那些祖先子树中的点控制的方向突然向上又向下了。

　　我们考虑到常用的技巧，在树形dp中，如果两个点会对答案产生贡献，我们在其LCA处统计贡献。于是我们设两个dp方程：

　　f(i,x)表示i点的子树中需要被控制的点全部被控制，还可以向上控制x层的最小代价；g(i,x)表示i点的子树中x层及以下需要被控制的点全部被控制的最小代价。

　　需要向上控制x层，那么儿子中就需要有点可以向上控制x +1层的点被选择，对于新来的子树j有两种情况，一个是我们需要的点在这个新的子树中，一个是我们需要的点在原来的子树中。

　　f(i,x)=min(f(i,x)+g(j,x),f(j,x+1)+g(i,x+1))

　　init：一开始把每点i当成孤点，那么向上控制1~d层就只有靠自己，f值初始化为w[i]；f[i][0],g[i][0]根据这个点本身是否需要监视来判断。

　　但是注意答案在控制的长度恰好为x的时候不一定是最优的，可能稍微控制的长度大一点答案反而更优，于是把方程的意义改一下，改成至少控制x层。

　　g(i,x)=sum{g(j,x-1)|i->j},g(i,0)=f(i,0)

　　小技巧：怎么维护至少这个性质？和看起来更劣的状态取min即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<cctype>
#define inf 1e9
using namespace std;
const int maxn=500005;
const int maxd=25;

int N,D,M,W[maxn];
struct edge{ int to,next; }E[maxn<<1];
int first[maxn],np,f[maxn][maxd],g[maxn][maxd];
bool ob[maxn];

void _scanf(int &x)
{
    x=0;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
}
void add_edge(int u,int v)
{
    E[++np]=(edge){v,first[u]};
    first[u]=np;
}
void data_in()
{
    _scanf(N);_scanf(D);
    for(int i=1;i<=N;i++) _scanf(W[i]);
    _scanf(M);
    int x,y;
    for(int i=1;i<=M;i++){
        _scanf(x); ob[x]=1;
    }
    for(int i=1;i<N;i++){
        _scanf(x);_scanf(y);
        add_edge(x,y); add_edge(y,x);
    }
}
void DFS(int i,int fa)
{
    for(int d=1;d<=D;d++) f[i][d]=W[i];
    f[i][D+1]=inf;
    if(ob[i]) f[i][0]=g[i][0]=W[i];
    for(int p=first[i];p;p=E[p].next){
        int j=E[p].to;
        if(j==fa) continue;
        DFS(j,i);
        for(int d=0;d<=D;d++)
            f[i][d]=min(f[i][d]+g[j][d],f[j][d+1]+g[i][d+1]);
        for(int d=D;d>=0;d--) f[i][d]=min(f[i][d],f[i][d+1]);
        g[i][0]=f[i][0];
        for(int d=1;d<=D;d++) g[i][d]+=g[j][d-1];
        for(int d=1;d<=D;d++) g[i][d]=min(g[i][d],g[i][d-1]);
    }
}
void work()
{
    DFS(1,0);
    printf("%d
",f[1][0]);
}
int main()
{
    data_in();
    work();
    return 0;
}