动态规划

70. 爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：

输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶
示例 2：

输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        vector<int> dp(n+3,0);
        dp[2]=2;
        dp[1]=1;
        for(int i = 3;i<=n;i++)
        {
            dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }
};

198. 打家劫舍

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你在不触动警报装置的情况下，能够偷窃到的最高金额。

示例 1:

输入: [1,2,3,1]
输出: 4
解释: 偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ，然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)。
  偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。
示例 2:

输入: [2,7,9,3,1]
输出: 12
解释: 偷窃 1 号房屋 (金额 = 2), 偷窃 3 号房屋 (金额 = 9)，接着偷窃 5 号房屋 (金额 = 1)。
  偷窃到的最高金额 = 2 + 9 + 1 = 12 。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/house-robber
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class Solution {
public:
    int rob(vector<int>& nums) {
    vector<int> result(nums.size(),0);
    if(nums.size() == 0)
        return 0;
    if(nums.size() == 1)
        return nums[0];
    result[0] = nums[0];
    result[1] = max(nums[1],nums[0]);
    for(int i =2; i < nums.size();i++)
    {
        result[i] = max(nums[i]+result[i-2],result[i-1]);
    }
    return max(result[nums.size()-1],result[nums.size()-2]);
    }
};

53. 最大子序和

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例:

输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/maximum-subarray
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        vector<int> dp(nums.size(),0);
        if(nums.size() == 0)
        return 0;
        if(nums.size() == 1)
        return nums[0];
        dp[0] = nums[0];
        dp[1] = max(nums[1],nums[1]+dp[0]);
        for(int i =2; i <nums.size();i++)
        {
            dp[i] = max(dp[i-1]+nums[i],nums[i]);
        }
        return *max_element(dp.begin(),dp.end());
    }
};

322. 零钱兑换

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。

示例 1:

输入: coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出: 3
解释: 11 = 5 + 5 + 1
示例 2:

输入: coins = [2], amount = 3
输出: -1

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/coin-change
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分析：这个题的重点在于如何找出递归状态方程 我们发现所需金额可以有已有任意面额比它小的纸币和它的差值构成

比如先有1元 5元的纸币 那么如果需要7元的面额 在整个过程中 首先2元的会更新为2个一元钱组成，3元会由1元（已有面额纸币）和2元组成 而两元又是由两个一元钱组成的 因此3元可以又3张纸币组成 以此迭代更新就可以更新到7元的时候可以又已有面额（1元）和6元组成 或者由已有面额（5元）和2元组成。如果在这里需要凑的比如2元是-1也就是没有的话那么这个方案也就是不可行的了 可以尝试其他面额已有纸币进而迭代更新。 最后保存纸币数量最少的就行了。

算法如下

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        if(amount ==0)
            return 0;
    vector<int> dp(amount+1,-1);
    dp[0] = 0;
    for(int i = 1; i <= amount; i++)
    {
        for(int j = 0; j < coins.size();j++)
        {
           if(i-coins[j] >=0 && dp[i-coins[j]]!= -1)
           {
               if(dp[i] == -1 || dp[i] > dp[i-coins[j]]+1)
                dp[i] = dp[i-coins[j]]+1;
           }
        }
    }
    return dp[amount];
    }
};