根据知乎提问：n的正因子个数d(n)有没有上界公式？ 的某一篇回答：
依次进行正因子个数的上界估计。
根据常规 64 位 C++ 编译器，已定义好的最大可处理数字为无符号 128 位数。
由 \(\lg 2^{128}={128\ln 2\over \ln 10}=38.531839444989586\) 得到，数字大小最大为 \(10^{38}\) 数量级。
代入该公式，设 \(f=1.0660186782978\) ，则 \(d(n)\leq n^{f\over \ln\ln n}\) 。
根据因子成对出现的性质，显然有 \(d(n)=O(n^{1\over 2})\) 。
故接下来对能覆盖到 \(10^38\) 范围内的数字，因子数量复杂度低于该数量级的数字进行讨论。
若使得因子数量复杂度为 \(O(n^{1\over a})\) 级别，则 \({1\over a}={f\over \ln\ln n}\) 得到 \(n=\exp(\exp(af))\) 。
而 \(2^{128}\) 范围内的数字大小，只要求解 \(a\leq {\ln \ln n\over f}=4.207728658657603\) 范围内的数即可。
根据上文分析，写出 Python 代码打表得到：
from math import exp, log, ceil
a = [i/10 for i in range(21, 51)]
f = 1.0660186782978
n = [exp(exp(aa*f)) for aa in a]
n = [ceil(e) for e in n]
因数据过大，对数据进行了一定的处理。打表结果如下：
| \(a\) | \(n\) 的近似值（精确到 \(1\) 位有效数字） |
|---|---|
| \(2.1\) | \(1.2\times 10^{4}\) |
| \(2.2\) | \(3.5\times 10^{4}\) |
| \(2.3\) | \(1.2\times 10^{5}\) |
| \(2.4\) | \(4.1\times 10^{5}\) |
| \(2.5\) | \(1.8\times 10^{6}\) |
| \(2.6\) | \(8.8\times 10^{6}\) |
| \(2.7\) | \(5.3\times 10^{7}\) |
| \(2.8\) | \(4.0\times 10^{8}\) |
| \(2.9\) | \(3.7\times 10^{9}\) |
| \(3.0\) | \(4.4\times 10^{10}\) |
| \(3.1\) | \(6.8\times 10^{11}\) |
| \(3.2\) | \(1.5\times 10^{13}\) |
| \(3.3\) | \(4.4\times 10^{14}\) |
| \(3.4\) | \(2.0\times 10^{16}\) |
| \(3.5\) | \(1.4\times 10^{18}\) |
| \(3.6\) | \(1.5\times 10^{20}\) |
| \(3.7\) | \(2.7\times 10^{22}\) |
| \(3.8\) | \(8.9\times 10^{24}\) |
| \(3.9\) | \(5.7\times 10^{27}\) |
| \(4.0\) | \(7.6\times 10^{30}\) |
| \(4.1\) | \(2.3\times 10^{34}\) |
| \(4.2\) | \(1.7\times 10^{38}\) |
| \(4.3\) | \(3.3\times 10^{42}\) |
| \(4.4\) | \(2.0\times 10^{47}\) |
| \(4.5\) | \(4.2\times 10^{52}\) |
| \(4.6\) | \(3.5\times 10^{58}\) |
| \(4.7\) | \(1.4\times 10^{65}\) |
| \(4.8\) | \(2.8\times 10^{72}\) |
| \(4.9\) | \(4.0\times 10^{80}\) |
| \(5.0\) | \(4.7\times 10^{89}\) |