关于有理小数与最简分数的关系

命题

有理小数与最简分数一一对应

这里的有理小数指一切整数、有限小数、无限循环小数

最简分数需满足以下条件：

1. 分子分母为整数
2. 分母一定为正数
3. 若分子不为 (0) ，则一定与分母最大公因数为 (1)
4. 若分子为 (0) ，则分母为 (1)

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证明

规定

1. (gcd(a,b)) 表示 (a,b) 的最大公因数，显然，必须为正数
2. (lfloor x floor) 即向下取整函数，表示不大于 (x) 的最大整数
3. 集合 (N) 指自然数集，包括所有非负整数
4. (aequiv b(mod p)) 指 (a) 与 (b) 除以 (p)，余数相同
5. (oldsymbol varphi(n)) 指欧拉函数在 (n) 处的取值，即不大于 (n) 的正整数中，与 (n) 互质的数的个数
6. (amid b) 指 (a) 整除 (b)，即 (a) 是 (b) 的因数；(a mid b) 即 (a) 不整除 (b)
7. 集合 (Z) 指整数集，包括所有整数

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充分性

先证明对于一切有理小数，有且仅有一个满足上述条件的最简分数与之相等

1. 当有理小数为整数 (x) 时

对应唯一最简分数 ({xover 1})

2. 当有理小数为有限小数 (y) 时

设 (y) 的位数为 (n)

( herefore y imes 10^n) 一定为整数

( herefore y={y imes 10^nover 10^n})

记 (p=y imes 10^n,q=10^n,g=gcd(p,q))

( herefore y={pover q}={({pover g})over ({qover g})})

为最简分数

3. 当有理小数为纯无限循环小数 (t) 时

这里的纯无限循环小数需满足以下两个条件：

1. 整数部分为 (0)
2. 小数部分从第一位开始循环

先考虑正数情况：

设该正无限循环小数的循环位数为 (m)

( herefore t imes 10^m) 相当于把小数点往右移动了 (m) 位，刚好取出了一个循环节

( herefore (t imes 10^m-t)) 刚好减去循环部分，得到一个整数，记为 (p)

同时，又记 (q=10^m-1,g=gcd(p,q))

( herefore t={t imes (10^m-1)over 10^m-1}={t imes 10^m-tover q}={pover q}={({pover g})over ({qover g})})

为最简分数

若为负数，则存在唯一的最简分数 ({pover q}=|t|=-t)

故其对应唯一最简分数 ({-pover q})

4. 当有理小数为无限循环小数 (z) 时

同样先考虑正数的情况：

设 (z) 开始循环的数位是第 (n) 位

则 (lfloor z imes 10^{n-1} floor) 即为不循环的数位，将之记为 (a)

故 ((z imes 10^{n-1}-a)) 即为纯无限循环小数，将之记为 (b)

( herefore z imes 10^{n-1}-a=b)

( herefore z={a+bover 10^{n-1}})

由 (2) 得，存在最简分数 ({p_1over q_1}) 使得 (a={p_1over q_1})

由 (3) 得，存在最简分数 ({p_2over q_2}) 使得 (b={p_2over q_2})

( herefore z={a+bover 10^{n-1}}={({p_1over q_1}+{p_2over q_2})over 10^{n-1}}={p_1q_2+p_2q_1over q_1q_1 imes 10^{n-1}})

同样，记 (p=p_1q_2+p_2q_1,q=q_1q_1 imes 10^{n-1},g=gcd(p,q))

( herefore z={pover q}={({pover g})over ({qover g})}) 为最简分数

若为负数，则存在唯一的最简分数 ({pover q}=|t|=-t)

故其对应唯一最简分数 ({-pover q})

综上，充分性得证

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必要性

下面证明对于所有满足上述条件的最简分数，有且仅有一个有理小数与之相等

先考虑正数的情况：

不妨设最简分数为 ({pover q})

1. 若 (q=10^n,nin N)

相当于对于整数 (p)，将其小数点左移 (n) 位

故其对应唯一有理小数，且必定为整数或有限小数

2. 若 (q) 只含有质因数 (2,5)

不妨设 (q=2^{c_2} imes 5^{c_5}={10^nover k^m}(n=max(c_2,c_5),k=2 ext{ or }5,m=n-c_k))

( herefore {pover q}={pover ({10^nover k^m})}={p imes k^mover 10^n})

由 (1) 得，对应唯一有理小数

又由于对于所有整数或有限小数，其对应的唯一最简分数，分母一定为 (10^n) 的因数，故一定只含有质因数 (2,5)

因此整数、有限小数，与质因数只含有 (2,5) 的最简分数一一对应

3. 若 (q) 不含有质因数 (2,5) ，(p=1)

由于其不可化为 (1,2) 所述形式，故其对应有理小数一定不为整数与有限小数

故若其有对应的有理小数

则有理小数一定为无限循环小数

由欧拉定理得， (10^Nequiv 1(mod q)) 对满足该条件的 (q) 一定存在解 (N=oldsymbol varphi(q))

故此时 (10^N-1equiv 0(mod q))

( herefore qmid(10^N-1))

( herefore {10^N-1over q}=(10^N-1) imes {pover q}) 一定为整数

记 (A={pover q},B=10^N imes A,C=(10^N-1)A=10^N imes A-A=B-Ain Z)

由上可得 (A) 一定不为整数或有限小数，则 (A) 一定为无限小数

由于 (B=10^N imes A) 相当于 (A) 的小数点右移 (N) 位

(ecause C=B-Ain Z)

( herefore A) 的小数点右移 (N) 位后，其小数位与不移动时相同

( herefore A) 的小数具有长度为 (N) 的循环节

( herefore) 上述的 ({pover q}) 具有唯一对应的有理小数

4. 若 (q) 不含有质因数 (2,5) ，(p eq 1)

由 (3) 得，存在唯一的有理小数 (n) 使得 (n={1over q})

( herefore pn={pover q}) 为其对应的唯一有理小数

5. 若 (q) 含有因数 (2,5) 以及其它质因数

不妨设 (q=2^{c_2} imes 5^{c_5} imes q'={10^nover k^m} imes q'(n=max(c_2,c_5),k=2 ext{ or }5,m=n-c_k,2 mid q',5 mid q'))

( herefore {pover q}={pover {10^nover k^m} imes q'}={({p imes k^mover q'})over 10^n})

由 (4) 得，存在唯一有理小数 (t) 使得 (t={p imes k^mover q'})

故 ({pover q}={tover 10^n})

相当于将 (t) 的小数点左移 (n) 位，为有理小数

综上，必要性得证

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综和充分性与必要性得，有理小数与最简分数一一对应

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推论

1. 所有整数、有限小数、无限小数，对应唯一的最简分数形式
2. 所有分数对应唯一整数、有限小数或无限小数
3. 实数范畴内，所有无理数一定对应无限不循环小数
4. 实数范畴内，所有无限不循环小数一定对应无理数