杜教筛

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杜教筛

我们考虑计算 (displaystyle ans=sum_{i=1}^noldsymbol f(i),nleq 10^9)

这种复杂度，首先，线性筛的复杂度肯定是不够了。我们考虑一个更优秀的方法，杜教筛

杜教筛的条件有三个：

1. (oldsymbol f) 为积性函数
2. 存在积性函数 (oldsymbol g) 其前缀和能快速计算
3. 迪利克雷卷积 (oldsymbol f*oldsymbol g) 能快速计算前缀和

对于满足上述三个条件的 (oldsymbol f,oldsymbol g) ，我们来这么看：

设 (displaystyle F(n)=sum_{i=1}^noldsymbol f(i))

(displaystyle sum_{i=1}^n(oldsymbol f*oldsymbol g)(i)=sum_{i=1}^nsum_{dmid i}oldsymbol f({iover d})oldsymbol g(d)=sum_{d=1}^nsum_{i=1}^n[dmid i]oldsymbol f({iover d})oldsymbol g(d))

(displaystyle herefore sum_{i=1}^n(oldsymbol f*oldsymbol g)(i)=sum_{d=1}^noldsymbol g(d)sum_{i=1}^{n/d}oldsymbol f({idover d})=sum_{d=1}^noldsymbol g(d)sum_{i=1}^{n/d}oldsymbol f(i)=sum_{d=1}^noldsymbol g(d)cdot F(n/d)=sum_{d=2}^noldsymbol g(d)cdot F(n/d)+oldsymbol g(1)cdot F(n))

(displaystyle herefore ans=F(n)=oldsymbol g(1)cdot F(n)=sum_{i=1}^n(oldsymbol f*oldsymbol g)(i)-sum_{d=2}^noldsymbol g(d)cdot F(n/d))

如果满足上述三个条件，则求 (F(n)) 时，(displaystyle sum_{i=1}^n(oldsymbol f*oldsymbol g)(i)) 是可以快速计算的，(oldsymbol g(d)) 也是可以用整出分块优化，并快速计算前缀和的，(F(n/d)) 可以递归求解，又由于 (n/d) 的取值级别为 (sqrt n) ，((n/d)/g=n/gd) 也为 (n/d) 的一种情况

因此，我们可以通过记忆化来优化，最后经过证明，复杂度可以压缩到 (O(n^{3over 4}))

但是还可以更优：

我们预处理 (n^{2over 3}) 范围内的 (F(n)) 值，复杂度即可优化到 (O(n^{2over 3}))

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杜教筛的实现

我们整合一下思路：

1. 找到符合条件的 (oldsymbol g)
2. 筛出 (n^{2over 3}) 范围内的函数前缀和
3. 采用记忆化，若 (F(n)) 小于 (n^{2over 3}) 或 (F(n)) 已筛出，则直接返回
4. 先算出 (displaystyle sum_{i=1}^n(oldsymbol f*oldsymbol g)(i)) 的值
5. 再调用整除分块，实现递归求解