CF708E Student's Camp
有一个高 (n+2) ，宽 (m) 的矩形，每个位置有一个砖块。每天白天，除了最上最下两行，其余的每行最左侧元素有 (p=frac{a}{b}) 的概率消失；每天晚上，其余的每行最右侧元素也有 (p=frac{a}{b}) 的概率消失
问经过 (k) 天后（ (k) 个白天、 (k) 个晚上），这个矩形没有被分割为两个及以上的四连通块的概率 (mod 10^9+7)
(n, mleq1500; kleq10^5)
记 (f_{i, l, r}) 为，第 (i) 行没有消失的部分为区间 ([l, r]) ，前 (i) 行没有被分割为两个及以上的四连通块的概率
转移： (f_{i, l, r}=p_{l, r}displaystylesum_{[l, r]cap[x, y] eq varnothing} f_{i-1, x, y}) ，其中 (p_{l, r}) 为经过了 (k) 天，第 (i) 行仅剩下区间 ([l, r]) 的概率
初值 (f_{0, 1, m}=1) ，答案即为 (displaystylesum_{1leq lleq rleq m}f_{n, l, r})
容易发现对于一行，左侧的消失情况与右侧的消失情况是独立的，因此定义 (p_i) 为经过 (k) 天，消失了 (i) 个砖块的概率，则 (p_{l, r}=p_{l-1} imes p_{m-r})
限制条件 ([l, r]cap[x, y]=varnothing) 即为 (yge l, xleq r) ，则 (egin{aligned}f_{i, l, r}&=p_{l-1} imes p_{m-r} imesdisplaystylesum_{y=l}^nsum_{x=1}^{min(r, y)}f_{i-1, x, y}\&=p_{l-1} imes p_{m-r} imesdisplaystyle((sum_{y=l}^rsum_{x=1}^yf_{i-1, x, y})+(sum_{y=r+1}^nsum_{x=1}^rf_{i-1, x, y}))end{aligned})
记 (A_{i-1, r}=displaystylesum_{y=1}^rsum_{x=1}^yf_{i-1, x, y}, B_{i-1, r}=sum_{y=r+1}^nsum_{x=1}^rf_{i-1, x, y}) ，则 (f_{i, l, r}=p_{l-1} imes p_{m-r} imes(A_{i-1, r}-A_{i-1, l-1}+B_{i-1, r}))
因此 (A_{i, j}=displaystylesum_{y=1}^jsum_{x=1}^yp_{l-1} imes p_{m-r} imes(A_{i-1, r}-A_{i-1, l-1}+B_{i-1, r}),\B_{i, j}=displaystylesum_{y=j+1}^nsum_{x=1}^jp_{l-1} imes p_{m-r} imes(A_{i-1, r}-A_{i-1, l-1}+B_{i-1, r}))
把括号拆开，大力前缀和一下，用 (A, B) 代替 (f) ，就能做到 (O(nm)) 了
CF1236E Alice and the Unfair Game
有排成一排的 (n) 个箱子，初始时你可以决定将一个小球放在某一个箱子中；Alice 会问你 (m) 个问题，第 (i) 个问题为第 (q_i) 个箱子里是否有球
你在每一次询问后和第一次询问前，可以将小球从原来的箱子挪到与之相邻的箱子，即每次操作可以将小球所在位置 (i) 变为 (i-1(i>1), i, i+1(i<n)) ；一个操作序列合法当且仅当使得 Alice 的每次询问都为否
问有多少种不同的状态 ((x, y)) 为，初始时小球在第 (x) 个箱子，在你的最后一次操作后小球位于第 (y) 个箱子，且能找到至少对应的一种合法的操作序列
(1leq n, mleq10^5)
注意到固定 (x) 后，合法的 (y) 一定是一段区间，考虑对每种 (x) 顺序执行操作，整体维护合法的 (y) 的区间
考虑维护左端点，在一次询问前，左端点 (=q_i+1) 的位置一定不会向左拓展，其余的会整体向左拓展 (1) ，可以将所有左端点 (=q_i+1) 的位置合并到左端点 (=q_i+2) 的位置，用并查集实现即可；右端点同理
注意特判 (n=1) 以及清空
CF1045G AI robots
有 (n) 个元素和一个常数 (K) ，每个元素有三个权值 (x_i, r_i, q_i) ，问满足以下条件的无序二元组 ((i, j), i eq j) 的个数：
- (x_iin[x_j-r_j, x_j+r_j])
- (x_jin[x_i-r_i, x_i+r_i])
- (|q_i-q_j|leq K)
- (nleq10^5, Kleq20)
- (0leq x_i, r_i, q_ileq10^9)
有三种考虑方式：
- 升序枚举 (x_i) ，统计 (x_jge x_i) 的满足条件的二元组对数
- 升序枚举 (r_i) ，统计 (r_jge r_i) 的满足条件的二元组对数
- 升序枚举 (q_i) ，统计 (q_j-q_ileq K) 的满足条件的二元组对数
1，3 做法都会剩下 (x_iin[x_j-r_j, x_j+r_j], x_jin[x_i-r_i, x_i+r_i]) 的限制，而 2 做法的好处在于，对于 (x_jin[x_i-r_i, x_i+r_i]) 的 (j) ，一定满足 (x_iin[x_j-r_j, x_j+r_j])
接下来就随便搞搞，可以做三维偏序，也可以对于 (i) 枚举满足 (|q_i-q_j|leq K) 的 (q_j) ，时间复杂度 (O(nlog^2 n)) 或 (O(nKlog n))
CF848C Goodbye Souvenir
给定一个长度为 (n) 的序列 (a_i) ，定义一种数 (x) 在区间 ([l, r]) 的权值为： (x) 在 ([l, r]) 最后一次出现的下标 - (x) 在 ([l, r]) 第一次出现的下标
有 (m) 次操作，单点修改，询问一段区间中每种数的权值和（即只对每种在 ([l, r]) 中出现过的数统计答案）
(n, mleq10^5)
记 (lst_i) 为上一个与 (i) 颜色相同的位置， (nxt_i) 为下一个与 (i) 颜色相同的位置。两种切入方式：
- 如果 (lst_i<l) ，则对答案有 (-i) 的贡献，如果 (nxt_i>r) 则对答案有 (i) 的贡献
- 记位置 (i) 的权值 (v_i=i-lst_i) ，那么答案即为所有满足 (lst_ige l) 的位置的 (v_i) 和
都能看做三维偏序，不过第二种好写一点
CF1012B Chemical table
给定一个 (n imes m) 的矩形，一开始有 (q) 个格子被标记。对于任意的 (x1, y1, x2, y2) ，如果 ((x1, y1), (x_1, y_2), (x_2, y_1)) 均被标记，则 ((x_2, y_2)) 也会被标记。问至少需要手动标多少个格子，使得矩形内所有点都被标记
(n, m, qleq2 imes10^5)
新建一个二分图，左部有 (n) 个点代表每一行，右部有 (m) 个点代表每一列，矩形中的一个点 ((x, y)) 被看做连接第 (x) 个左部点和第 (y) 个右部点的边
可以发现，对于一个连通块，必定可以拓展成一个完全二分图，因此只需要将原图缩成一个连通块，即统计连通块个数
CF1140F Extending Set of Points
有一个可以插入删除元素的集合 (S{x, y}) ，定义 (S) 的拓展集合为：
- 包含 (S) 中所有点 ((x, y))
- 对于任意的 (x1, y1, x2, y2) ，如果 ((x1, y1), (x_1, y_2), (x_2, y_1)) 均存在于拓展集合，则 ((x_2, y_2)) 会被加入拓展集合。
在每次插入或删除元素后，输出当前集合的拓展集合大小
(q, x, yleq3 imes10^5)
同样的，如果只有加入操作，用并查集维护，若连接的两个点不在同一个连通块，则增加的拓展集合大小为两点所在连通块大小乘积
删除操作直接线段树分治即可
杂题
给定一个长为 (n) 的序列 (a_i) ，有两种操作：
- 给出 (x, y) ，将 (a_x) 修改为 (y)
- 给出 (x) ，找到满足 (gcd(a_1, a_2, cdots, a_p) imes(a_1oplus a_2opluscdotsoplus a_p)=x) 的最小的 (p) ，其中 (oplus) 是 xor
强制在线
- (n, qleq10^5)
- (a_iin[0, 10^9])
由于不同的前缀 (gcd) 值只有 (O(log)) 种，可以暴力考虑每一段前缀 (gcd) 值相同的一段，找到这些连续段可以魔改一下线段树二分，修改、找到所有连续段是 (O(log^2n)) 的
接下来只需要支持，单点修改，查询一段后缀中满足前缀异或和 (=k) 的最靠前的位置
发现做法假了/kk，换一种做法（）暴力分块，用 hashmap 维护块内权值出现情况，这一部分时间复杂度 (O(nsqrt n))
杂题
有 (n) 个人，有一些人住双人宿舍，其余人住单人宿舍；有一些人与唯一的同桌共用一张双人桌，其余人用单人桌
求有多少个排列 (p) 满足，原本第 (i) 个人换到 (p_i) 的宿舍以及桌子上后，原本的室友以及同桌关系不变，答案对 (10^9+7) 取模
(nleq2 imes10^5)
将宿舍以及同桌关系看做两种不同边权的边，建成一张 (n) 个点的图，显然这张图的每个连通块都是链或者环
容易发现，如果整张图中有 (x) 个长度为 (k) 的环，有 (x! imes k^x) 种方案；如果整张图中有 (x) 条最左侧最右侧两条边均为宿舍关系，有 (x!2^x) 种方案，两侧边权均为同桌关系同理；如果两侧边权不同，有 (x!) 种方案
杂题
给定一棵 (n) 个点的带非负边权树，你需要给每个点确定一个值 (a_i) ，使得 (forall u, vin[1, n], |a_u-a_v|leq dis(u, v)) ，其中 (dis(u, v)) 为 (u, v) 在树上的最短路长度
每个值 (a_i) 只能是 ([l_i, r_i]) 中的值，你可以花费 (x) 的代价（ (xge 0) ），使得每个点的限制变成 ([l_i-x, r_i+x])
问至少有一种确定 (a_i) 的方法时，代价的最小值
- (nleq10^6)
- (0leq w, |l_i|, |r_i|leq10^9)
做法一：
考虑差分约束系统，新建一个 (0) 号点，向每个点连边权为 (r_i) 的单向边，每个点向 (0) 连边权为 (-l_i) 的单向边，有解当且仅当图中不存在负环
单向边 ((0, i, r_i)) 相当于限制 (aleq r_i) ，单向边 ((i, 0, -l_i)) 相当于限制 (l_ileq a_i) ，可以将树中的边看做一张完全图， (u, v) 之间的双向边边权为 (dis(u, v)) ，则完全图中的一条双向边 ((u, v, w)) 的限制为 (|a_i-a_j|leq w) ，等价于题目条件
可以发现并不用二分，因为每个简单环必定经过 (0 o i, j o 0) 两条边，因此只需要求出图中最小环的权值 (x) ，答案即为 (lfloorfrac{min(0, x)}2 floor)
最小环可以 dijkstra 或 树形dp，时间复杂度 (O(nlog n)) 或 (O(n))
做法二：
有解当且仅当，存在一组 (a_i) ，使得对于任意一条边 ((u, v, w)) ，满足 (|a_u-a_v|leq w)
证明：
-
对于三元组 ((u, v, w)) ，若 (u) 是 (v) 的祖先， (v) 是 (w) 的祖先，存在 (|a_u-a_v|leq dis(u, v), |a_v-a_w|leq dis(v, w)) ，由 (|a+b|leq|a|+|b|) 得到 (|a_u-a_w|leq dis(u, w))
-
对于三元组 ((u, v, w)) ，若 (lca(v, w)=u) ，存在 (|a_u-a_v|leq dis(u, v), |a_u-a_w|leq dis(u, w)) ，即 (Aleq x, Bleq y) 显然存在 (|A-B|leq x+y) ，即 (|a_v-a_w|leq dis(v, w))
对于 (u) 的子树， (a_u) 的取值是一段区间，由于上述结论，可以直接从儿子节点转移过来维护，即 (l_u=max(l_v-w), r_u=min(r_v+w)) ，其中 (w) 是 ((u, v)) 的边权。现在只需要取到一个 (x) 使得每个节点的取值范围非空，即 (x=lfloorfrac{displaystylemin_{uin[1, n]}(0, r_u-l_u)}2 floor) ，时间复杂度 (O(n))
有一个连续型随机变量 (y=g(x)) ，密度函数为 (f(x)) ，则有 (E(y)=displaystyleint_{-infty}^{infty}g(x)f(x)dx)
期望的线性性
方差
有一个连续型随机变量 (x) ，密度函数为 (f(x)) ，则 (x) 的方差为 (D(x)=E[(x-E(x))^2]) ，可以将 (E(x)) 看做常数
可以用更简洁的方式表达： $$egin{aligned}D(x)&=E[x2-2xE(x)+E2(x)]&=E(x2)-2E(x)E(x)+E2(x)&=E(x2)-E2(x)end{aligned}$$
由期望的性质，可以得到以下结论：
- (C) 是常数，则 (D(C)=0)
- (a, b) 为常数，则 (D(ax+b)=a^2D(x))
- 当 (x, y) 独立时，有 (D(xpm y)=D(x)pm D(y))
3 的证明：以 (D(x+y)=D(x)+D(y)) 为例
(egin{aligned}D(x+y)&=E((x+y)^2)-E^2(x+y)\&=E(x^2+2xy+y^2)-(E(x)+E(y))^2\&=E(x^2)+2E(x)E(y)+E(y^2)-E^2(x)-2E(x)E(y)-E^2(y)\&=E(x^2)-E^2(x)+E(y^2)-E^2(y)=D(x)+D(y)end{aligned})