Gym 101775A

题意

n个人，大于等于k个人可以建一个群，问能建成多少个不同的群。
结果对1000000007取模

思路

公式很简单

ans=C(n,k)+C(n,k+1)+......+C(n,n)$$ans=C(n,k)+C(n,k+1)+......+C(n,n)$$

由于1 ≤ N ≤ 109$1\hspace{0.17em}\le \hspace{0.17em}N\hspace{0.17em}\le \hspace{0.17em}{10}^9$. 3 ≤ K ≤ 105$3\hspace{0.17em}\le \hspace{0.17em}K\hspace{0.17em}\le \hspace{0.17em}{10}^5$.
可以将公式转化为

ans=2n−(C(n,0)+C(n,1)+......+C(n,k−1))$$ans=2^n-(C(n,0)+C(n,1)+......+C(n,k-1))$$

在算组合数的时候，一开始考虑用卢卡斯求每次的组合数相加，但是这样的话复杂度会非常高。
考虑换组合数递推式，一边递推一边就可以累加

C(n,k+1)=C(n,k)∗(n−k)/(k+1)$$C(n,k+1)=C(n,k)\ast (n-k)/(k+1)$$

而其中的除法，取余等等操作会爆精度，这里就要采用逆元的方法变除法为乘法：

C(n,k+1)=C(n,k)∗(n−k)∗inv(k+1)$$C(n,k+1)=C(n,k)\ast (n-k)\ast inv(k+1)$$

乘法每一步取模

C(n,k+1)=C(n,k)∗(n−k)modm∗inv(k+1)modm$$C(n,k+1)=C(n,k)\ast (n-k)modm\ast inv(k+1)modm$$

什么是逆元
当求解公式：(a/b)%m 时，因b可能会过大，会出现爆精度的情况，所以需变除法为乘法：
设c是b的逆元，则有b*c≡1(mod m)；
则(a/b)%m = (a/b)*1%m = (a/b)*b*c%m = a*c(mod m);
即a/b的模等于a*b的逆元的模；
逆元就是这样应用的；

逆元：
ll inv(ll a){
    return mul(a, mod-2);  // mul()是快速幂
}

AC代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#define mst(a) memset(a,0,sizeof a);
#define eps 1e-8
#define _sign(x) ((x)>eps?1:((x)<-eps?2:0))
#define FRER() freopen("in.txt","r",stdin)
#define FREW() freopen("out.txt","w",stdout)
#define mod(a,m) ((a)%(m)+(m))%(m)
using namespace std;
typedef unsigned long long ll;
const ll mod = 1000000007;

ll mul(ll a, ll k){
    ll ret = 1;
    for(;k;k>>=1){
        if(k&1) ret = (ret*a)%mod;
        a = (a*a)%mod;
    }
    return ret;
}

ll inv(ll a){
    return mul(a, mod-2);
}

int main()
{
    ll n, m, k;
    int T;
    scanf("%d",&T);
    int kase = 0;
    for(int kase = 1; kase <= T; kase++){
        scanf("%lld%lld",&n, &k);
        ll sum = 1, pre = 1;
        for(ll i = 1; i < k; i++){
            pre = pre*(n-i+1)%mod*inv(i)%mod;
            sum = (sum + pre)%mod;
        }
        ll pp = mul(2,n);
        printf("Case #%d: %lld
",kase, (pp-sum+mod)%mod);
    }
    return 0;
}