| SIFT算法：DoG尺度空间生产 |
| SIFT算法：KeyPoint找寻、定位与优化 |
| SIFT算法：确定特征点方向 |
| SIFT算法：特征描述子 |
目录：
1、计算邻域梯度方向和幅值
2、计算梯度方向直方图
3、确定特征点方向
1 计算邻域梯度方向和幅值
为了实现图像旋转的不变性，需要根据检测到的特征点的局部图像结构求得一个方向基准。我们使用图像梯度的方法求取该局部结构的稳定方向。对于己经检测到特征点，我们知道该特征点的尺度值σ，因此根据这一尺度值，在GSS中得到最接近这一尺度值的高斯图像。然后使用有限差分，计算以特征点为中心，以3X1.5σ为半径的区域内图像梯度的幅角和幅值，如下图所示。幅角和幅值计算公式加下:
2 计算梯度方向直方图
在完成特征点邻域的高斯图像的梯度计算后，使用直方图统计邻域内像素的梯度方向和幅值。梯度方向直方图的横轴是梯度方向角，纵轴是梯度方向角对应的（带高斯权重）梯度幅值累加值。梯度方向直方图将。0°~360°的范围，分为36个柱，每10°为一个柱。直方图的峰值代表了该特征点处邻域内图像梯度的主方向，也即该特征点的主方向，如下图所示。
绿色格点代表邻域范围，蓝色圆圈代表格点的高斯权重（稍后介绍），黑色箭头指向代表梯度方向，箭头长度代表梯度幅值。右边为梯度方向直方图（36柱，每柱代表10°，上图只显示了8柱）。获得梯度方向直方图的步骤如下：
- 生成领域各像元的高斯权重。其中高斯函数方差为该特征点的特征尺度σ的1.5倍。形式如下，其中（i,j）为该点距离特征点的相对位置，如上图，左上角点像元距离特征点（0,0）（即中心点）的相对位置坐标为（-4,-4），同理，右下角像元为（4,4）。
- 遍历邻域（绿色）中每个点，判断其梯度方向，将其加入相应的梯度方向直方图中，加入量为其梯度幅值 * wi,j ，例如左上角(-4,-4)的点，其梯度为方向为25°，梯度幅值为mag，我们将其加入到hist[2]中（假设hist[0]为0°~10°的直方柱，hist[1]为10°~20°的直方柱，以此类推至hist[35]为350°~360°）。加入的量为mag* w(-4,-4)，即hist[2] = hist[2] + mag* w(-4,-4)。直至遍历整个邻域，统计出该特征点出的梯度方向直方图。
- 平滑直方图。对上一步得出的直方图进行平滑，得到最终的梯度方向直方图。OpenCV中使用的 (1/16) * [1,4,6,4,1] 的高斯卷积和对直方图进行平滑处理，而vlfeat中使用了6次，邻域大小为3的平均处理，即hist[i] = (hist[i-1]+hist[i]+hist[i+1])/3。
问题1： 为什么每个点梯度幅值要使用高斯权重？
答：由于SIFT算法只考虑了尺度和旋转的不变性，并没有考虑仿射不变性。通过对各点梯度幅值进行高斯加权，使特征点附近的梯度幅值有较大的权重，这样可以部分弥补因没有仿射不变性而产生的特征点不稳定的问题。
3 确定特征点方向
有了梯度方向直方图之后，找到直方图中最大的值，则认为该方向为该特征点的主方向，如存在另一个方向大于最大值的80％，则认为该方向为该特征点的辅方向。一个特征点可能会有多个方向（一个主方向，一个以上的辅方向），这可以增强匹配的鲁棒性。具体而言，就是将该特征点复制成多份特征点（除了方向θ不同外，x,y,σ都相同）。
【Note】在OpenCV中，若辅方向除了满足大于最大值80％外，还必须是局部最大值，即 hist[i] > hist[i-1] && hist[i] > hist[i+1]。
通常离散的梯度方向直方图，可以通过插值拟合处理，这样可以得到更精确的方向角度值。
经过上述过程，我们特征点的所有量（x,y,σ,θ）都已经已经求得，其中位置（x,y）、尺度σ都是在上一节中求得，而特征点方向θ是通过特征点邻域直方图求得。下一节，将介绍SIFT描述子的形成方式。
参考资料：
- David G. Lowe Distinctive Image Features from Scale-Invariant Keypoints
- 王永明 王贵锦 《图像局部不变性特征与描述》