poj2965--较为巧妙的算法

这一题大意如下：

      一个冰箱上有4*4共16个开关，改变任意一个开关的状态（即开变成关，关变成开）时，此开关的同一行、同一列所有的开关都会自动改变状态。要想打开冰箱，要所有开关全部打开才行。

     输入：一个4×4的矩阵，+表示关闭，-表示打开；

　  输出：使冰箱打开所需要执行的最少操作次数，以及所操作的开关坐标。

这一题很多人使用BFS的方法，其实还有一种更为精妙的方法，值得大家思考。

这种方法网上很多人都提到了，但是说的都不太清晰，我想了很久也没想明白，后来我用程序追踪一下运行的过程，才豁然开朗。

首先要明白最基本的原理：对一个开关进行操作n次，如果n为偶数，那么这个开关以及同行、同列的开关状态都不发生改变，等价于没有操作；如果n为奇数，那么这个开关以及同行同列的开关状态全都发生改变，等价于只操作了一次。

要想使所有开关状态全部打开（全部是-），就要把所有+变成-，所有-不改变。我们要做的就是找到一种“公式”，策略，使得不改变已经打开的开关状态的情况下，把关闭的开关打开。这点很类似于魔方（PS：玩过魔方的都知道，魔方所谓的公式，其实就是在不改变已经拼好的部分的情况下，把其他部分一点一点添加到已拼好的部分）。

我们找到的策略就是：把开关本身以及其同一行同一列的开关（总共7个）都进行一次操作，结果是，开关本身状态改变了7次，开关同一行、同一列的开关状态改变了4次，其他开关状态改变了2次。如下图所示。

假如开关坐标为第二行第三列的（2，3），那么按照上述策略（把开关本身以及其同一行同一列的开关都进行一次操作），结果分析如下：

对于黄色部分的开关，只有与此黄色开关同一行和同一列的两个红色开关操作时，此黄色开关的状态才会发生改变，因此所有黄色部分状态改变次数为2，相当于0次

对于红色部分的开关，只有与此红色开关同一列或同一列的开关操作时，此红色开关状态才会发生改变，一行或者一列有4个开关，因此红色部分开关状态改变次数为4，相当于0次

对于最原始的那个黑色开关，所有红色开关操作时，它的状态改变一次，然后黑色开关自己操作一次，因此黑色开关状态改变7次，相当于改变1次。

总结上述分析可以得出结论，把开关本身以及其同一行同一列的开关都进行一次操作，最终结果是只有开关本身状态发生变化，其他所有开关状态都不变。

 

策略找到之后，那我们就想，如果对于所有关闭着的开关都进行一次上述策略，那么肯定是能把冰箱打开的，下面我们要做的就是把一些无用的，重复的操作去掉即可。

用一个4*4的数组记录每个开关操作的次数，初始化为0，开关操作一次，记录就+1，以样例（http://poj.org/problem?id=2965）为例：

-+--
----
----
-+--

1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

1 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

1 1 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

1 1 1 1
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

1 1 1 1
0 1 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0

1 1 1 1
0 1 0 0
0 1 0 0
0 1 0 0

1 1 1 1
0 1 0 0
0 1 0 0
1 1 0 0

1 1 1 1
0 1 0 0
0 1 0 0
1 2 0 0

1 1 1 1
0 1 0 0
0 1 0 0
1 2 1 0

1 1 1 1
0 1 0 0
0 1 0 0
1 2 1 1

1 2 1 1
0 1 0 0
0 1 0 0
1 2 1 1

1 2 1 1
0 2 0 0
0 1 0 0
1 2 1 1

1 2 1 1
0 2 0 0
0 2 0 0
1 2 1 1

对于样例中的每一个+开关，进行一次策略，记录数组所记录的每一个开关操作的次数变化如上所示。那么在最终得到的数组中可以看出，有些开关操作了偶数次，有些操作了奇数次。操作了偶数次的开关就是上面所说的无用的，重复的操作，直接去掉，留下奇数次的就最终的答案。

代码写的不好，仅供参考

#include<stdio.h>
#include<malloc.h>

char handle[4][4];  //存储字符
int record[4][4];   //记录每一位操作次数

void set_handle()
{
    int i, j;
    for(i = 0; i < 4; i++)
    {
        scanf("%s", handle[i]);
    }
    memset(record, 0, sizeof(record));
}

char change_state(char state)
{
    if(state == '+')
        return '-';
    return '+';
}

//把m行n列的开关按下
void flip(int m, int n)
{
    int i, j;
    for(j = 0; j < 4; j++)  //行操作
    {
        handle[m][j] = change_state(handle[m][j]);
    }
    for(i = 0; i < 4; i++)  //列操作
    {
        if(i != m)
          handle[i][n] = change_state(handle[i][n]);
    }
    record[m][n]++; //执行一次操作
}

//对数组中所有+位置的行和列所有的开关执行一次flip操作
void full_flip()
{
    int i, j;
    for(i = 0; i < 4; i++)
    {
        for(j = 0; j < 4; j++)
        {
            if(handle[i][j] == '+')
            {
                int t;
                for(t = 0; t < 4; t++)
                {
                    flip(i, t);
                }

                for(t = 0; t < 4; t++)
                {
                    if(t != i)
                    {
                       flip(t,j);
                    }

                }
            }
        }
    }
}


//遍历record数组，统计操作次数
void solute()
{
    int count = 0;
    int i, j;
    for(i = 0; i < 4; i++)
    {
        for(j = 0; j < 4; j++)
        {
            if(record[i][j] & 1  != 0)
            {
                count ++;
            }
        }
    }
    printf("%d
", count);
    for(i = 0; i < 4; i++)
    {
        for(j = 0; j < 4; j++)
        {
            if(record[i][j] & 1  != 0)
            {
                printf("%d %d
", i+1, j+1);
            }
        }
    }

}

int main(void)
{
    set_handle();
    full_flip();
    solute();
    return 0;
}