ACM/ICPC 之 DP进阶(51Nod-1371(填数字))

原题链接：填数字

顺便推荐一下，偶然看到这个OJ，发现社区运营做得很赞，而且交互和编译环境都很赞(可以编译包括Python,Ruby，Js在内的脚本语言，也可以编译新标准的C/C++11，甚至包括Go和C Sharp等)，虽然暂时不太火，但估计会逐渐成为国内算法界非常受欢迎的OJ社区。

主页：http://www.51nod.com/index.html

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　　本题是个题意简单的，思路复杂的DP题，说实话，光是想出这种DP就已经非常不易了，即便写出来也要考虑清楚每一种转移的公式和数值关系。

　　

　　原题：有n(1-200)行格子，第i(1<=i<=n)行有i个格子，每行格子是左对齐。现在要在每一个格子填入一个非负整数，最后使得每一行每一列的和都不超过2。

　　　　　请计算有多少种方案，答案比较大，请输出对100,000,007(1e8+7)取余后的结果。

　　　　　下图是n=4的时候格子的摆放。

　　　　　　

//务必注意理清每次状态转移方程的思路和公式
//博主因为一个地方写多了个+1，结果WA了5发....
//Memory:34900K Time:93Ms
#include<iostream>
using namespace std;

#define MAX 201
#define MOD 100000007

#define COL_0 (i - j - k - 1)    //和为0的列数
/*
* dp[i][j][k]
* i:表明当前行
* j:表明i行完成时有多少列为1
* k:表明j行完成时有多少列为2
* dp值表明该状态下的情况数
* 每次由 i-1行 -> i行 转移同j同k的状态
*/
__int64 dp[MAX][MAX][MAX];

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    dp[1][0][0] = dp[1][1][0] = dp[1][0][1] = 1;
    for (__int64 i = 2; i <= n; i++)
        for (__int64 j = 0; j <= i; j++)
            for (__int64 k = 0; k <= i - j; k++)
            {
                //最后一格为0时
                //-可+2
                if (i - j - k - 1 >= 1)
                    dp[i][j][k + 1] = (dp[i][j][k + 1] + dp[i - 1][j][k] * COL_0) % MOD;
                //-可+1
                //--两个1_0-0
                if (i - j - k - 1 >= 2)
                    dp[i][j + 2][k] = (dp[i][j + 2][k] + dp[i - 1][j][k] * (COL_0 * (COL_0 - 1) / 2)) % MOD;
                //--两个1_1-0
                if (j >= 1 && i - j - k - 1 >= 1)
                    dp[i][j][k + 1] = (dp[i][j][k + 1] + dp[i - 1][j][k] * COL_0 *j) % MOD;
                //--两个1_1-1
                if (j >= 2)
                    dp[i][j - 2][k + 2] = (dp[i][j - 2][k + 2] + dp[i - 1][j][k] * (j*(j - 1) / 2)) % MOD;
                //--一个1_1
                if (j >= 1)
                    dp[i][j - 1][k + 1] = (dp[i][j - 1][k + 1] + dp[i - 1][j][k] * j) % MOD;
                //--一个1_0
                if (i - j - k - 1 >= 1)
                    dp[i][j + 1][k] = (dp[i][j + 1][k] + dp[i - 1][j][k] * COL_0) % MOD;
                //什么都不加
                dp[i][j][k] = (dp[i][j][k] + dp[i - 1][j][k]) % MOD;

                //最后一格为1时
                //-可+1_0
                if (i - j - k - 1 >= 1)
                    dp[i][j + 2][k] = (dp[i][j + 2][k] + dp[i - 1][j][k] * COL_0) % MOD;
                //-可+1_1
                if (j >= 1)
                    dp[i][j][k + 1] = (dp[i][j][k + 1] + dp[i - 1][j][k] * j) % MOD;
                //什么都不加
                dp[i][j + 1][k] = (dp[i][j + 1][k] + dp[i - 1][j][k]) % MOD;

                //最后一格为2时
                dp[i][j][k + 1] = (dp[i][j][k + 1] + dp[i - 1][j][k]) % MOD;
            }

    __int64 sum = 0;
    for (int j = 0; j <= n; j++)
        for (int k = 0; k <= n - j; k++)
            sum = (sum + dp[n][j][k]) % MOD;
    printf("%I64d
", sum);

    return 0;
}