3930: [CQOI2015]选数

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Description

我们知道，从区间[L,H]（L和H为整数）中选取N个整数，总共有(H-L+1)^N种方案。小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律，他决定对每种方案选出的N个整数都求一次最大公约数，以便进一步研究。然而他很快发现工作量太大了，于是向你寻求帮助。你的任务很简单，小z会告诉你一个整数K，你需要回答他最大公约数刚好为K的选取方案有多少个。由于方案数较大，你只需要输出其除以1000000007的余数即可。

Input

输入一行，包含4个空格分开的正整数，依次为N，K，L和H。

Output

输出一个整数，为所求方案数。

Sample Input

2 2 2 4

Sample Output

HINT

样例解释

所有可能的选择方案：(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)

其中最大公约数等于2的只有3组：(2, 2), (2, 4), (4, 2)

对于100%的数据，1≤N,K≤10^9，1≤L≤H≤10^9，H-L≤10^5

正解应该是莫比乌斯反演，用特殊性质的dp+快速幂水过了。。。

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 using namespace std;
 4 
 5 #define LL long long
 6 const int MAXN=100005;
 7 const int mod=1000000007;
 8 LL n,k,l,h;
 9 LL f[MAXN];
10 
11 LL modexp(LL a,LL b)   
12 {   
13     LL ret=1;   
14     LL tmp=a;   
15     while(b)   
16     {
17         if(b&1) ret=ret*tmp%mod;   
18         tmp=tmp*tmp%mod;   
19         b>>=1;   
20     }   
21     return ret; 
22 }
23 
24 int main()
25 {
26     scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&l,&h);
27     for(LL i=h-l;i>=1;i--)
28     {
29         LL L=(l-1)/(k*i),R=h/(k*i);
30         f[i]=(modexp(R-L,n)-(R-L)+mod)%mod;
31         for(LL j=2;i*j<=h-l;j++)
32             f[i]=(f[i]-f[i*j]+mod)%mod;
33     }
34     if(l<=k&&k<=h) f[1]++;
35     printf("%lld",f[1]);
36     return 0;
37 }