数论笔记
BSGS（大步小步法）
求解形如(a^x equiv b (mod p))的方程的(x)解((gcd(a,b) = 1))
令(x = msqrt{p}-n(m,nleq sqrt{p}))，那么(a^{msqrt{p}-n}equiv b(mod p))，将两边同乘一个(a^n)，可得(a^{msqrt{p}}equiv ba^n(mod p))
然后先枚举(n)，用哈希表把右边存下来，再枚举(m)，看有无能与它同余的(n)值，就可以知道(x)。
若要求最小解，哈希表中相同哈希值的那一位取(n)的最大值，然后在比较的时候取一下(max)值就好了。
总结：数论中常用的构造法的一个鲜明的例子，将枚举(p)次构造成两边各枚举(sqrt{p})次，以后数论中要常想到用这种构造法。
扩展BSGS
假如上面的(a,p)不互质该怎么办呢？
辣么我们通过不断除去(gcd(a,p))，来使它们变得互质，具体而言：
首先求(gcd(a,p)=c_i)，然后可以得到(frac{a}{c_i}a^{x-1}equiv frac{b}{c_i}(mod frac{p}{c_i}))
然后，(frac{a}{c_i}a^{x-1})与(frac{p}{c_i})可能依然不互质，那么我们依葫芦画瓢，再除去一个(gcd(a,frac{p}{c_i}))。
如果仍然不互质，就一直除到两者互质为止，假设我们除了(k)次，那么我们可得
(frac{a^k}{prod_{i=1}^{k} c_i}a^{x-k}equiv frac{b}{prod_{i=1}^{k} c_i}(mod frac{p}{prod_{i=1}^{k} c_i}))
然后(frac{a^k}{prod_{i=1}^{k} c_i})是个可以算出来的常量，我们把它除到右边去就好了，因为(frac{p}{prod_{i=1}^{k} c_i})与(a)互质，所以有逆元，可以除。
当然，(x)可能小于(k)，我们(O(sqrt{p}))的时间直接枚举看看在小于(k)的范围内有没有解就好了。