UVA1185 【Big Number】

第一次写一篇黑题的题解！！内心充满激动！

首先简述一下蒟蒻做这道题的过程：

这道题要求我们求(n!)的位数，所以蒟蒻首先打一个小小的表：

(1, 1, 1,2, 3, 3, 4 ,5, 6, 7, 8……)

貌似没有什么规律可找(……)

于是蒟蒻无耻地上了(OEIS)找了一下，发现了这么几个递推式：

(1·quad a(n) = floor(log(n!)/log(10)) + 1)

这个式子要用到(n!)，所以显然不可用，看下一个。

$2·quad a(n) = A027869(n) + A079680(n) + A079714(n) + A079684(n) + A079688(n) + A079690(n) + ( )quad quad quad quad quad A079691(n) + A079692(n) + A079693(n) + A079694(n);$

解释一下，后面九个数列分别为(n!)中数字(1sim9)出现的个数，显然这个公式也不太可用，看下一个。

(3·quad a(n) = A055642(A000142(n)).)

这个式子中，外层为求(n)的位数，内层就是阶乘，所以显然也不可用。

(4·quad a(n) = ceiling(log10(1) + log10(2) + ... + log10(n)))

等等！！这个式子貌似是(O(n))的！！

于是，我们就愉快地(A)掉了此题。

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但学习需要严谨的态度,所以我们来证明一下这个(O(n))的式子：

首先，感谢这篇博客提供证明思路。

(P.s.:)以下推导过程均默认(log)的底数为(10)。

对于一个正整数(n)，对于它有(10^{x-1}leq n<10^x)，那么显然(n)有(x)位。继续向下推导：

[log(10^{x-1})leq log(n)<log(10^x) ]

[x-1leq log(n)<x ]

由于(c++)默认向下取整，所以(log(n)=x-1)，所以(n)的位数(=log(n)+1).

所以，我们得出答案式子为(:)

[ans=log(n!)+1 ]

[quadquadquadquadquadquadquadquadquad =log(1 * 2 * 3 * …… * n) + 1 ]

[quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad=log(1)+log(2)+……+log(n)+1 ]

[quadquadquad= sum_{i =1}^nlog(i)+1 ]

证毕。

所以，我们预处理出(log)的前缀和，向上取整即可。

code:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#define int long long

int n, temp;
double lg[10000001];

signed main() {
    scanf("%lld", &n);
    for (int i = 1; i <= 10000001; i++)
        lg[i] = lg[i - 1] + log10(i);
    while (n--) {
        scanf("%lld", &temp);
        printf("%lld
", (long long)lg[temp] + 1);
    }
    return 0;
}

完结撒花(✪ω✪)