并查集算法

　　并查集，在一些有N个元素的集合应用问题中，我们通常是在开始时让每个元素构成一个单元素的集合，然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并，其间要反复查找一个元素在哪个集合中。这一类问题近几年来反复出现在信息学的国际国内赛题中，其特点是看似并不复杂，但数据量极大，若用正常的数据结构来描述的话，往往在空间上过大，计算机无法承受；即使在空间上勉强通过，运行的时间复杂度也极高，根本就不可能在比赛规定的运行时间（1～3秒）内计算出试题需要的结果，只能用并查集来描述。（百度百科）

　　解决并查集问题需要用到一种简单的数据结构——树：

　　树状图是一种数据结构，它是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

每个节点有零个或多个子节点；没有父节点的节点称为根节点；每一个非根节点有且只有一个父节点；除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树。（百度百科）

注意：如果只有一个树只有一个节点，那么它本身就是自己的父节点。

 

比如A的父节点是A，也是这个树的根节点，并且也是B和C的父节点；B和C是A的子节点。

　　解决并查集问题分为三步：（1）初始化 （2）查询 （3）合并

　　（1）初始化

　　我们准备n个节点保存n个元素，编号1-n。最开始每个元素相护独立，没有任何联系，表现为n个孤立的节点。

初始化代码：

void Input(int N){
    for(int i = 0; i <= N; i++){
        F[i] = i;
    }
}

　　（2）查询

　　查询的目的是为了检查两个节点是否属于一个组，我们沿着树向上走，如果可以走到同一个根节点，那么我们就认为这两个元素属于同一个组。相当于每个树的根节点就是这个树独一无二的特点，可以看到（找到）这个特点，它两就是一家人。

查询代码：

int Find(int x){
    return F[x] == x ? x : Find(F[x]);//先判断自己的根节点是不是自己，是返回x，不是继续查询父节点
}

但是这样效率比较低，在数据比较多，数字比较大时，可能会超时，那么我们可以把每个查询过的子节点和其根节点相连，构成只有两层的树结构，当再次查询是效率就会提升。可以进行路径压缩：

路径压缩后代码如下：

int Find(int x){
    return F[x] == x ? x : F[x] = Find(F[x]);/*先判断自己的根节点是不是自己，是返回x，不是便把它的父节点设为根节点*/

}

　　（3）合并

　　若个查询到两个元素不是同一个组织，可以把它们进行合并。我们可以把其中甲方设置成为乙方的父节点便可，即其中甲方组织归属了乙方，它们的根节点相同。

代码如下：

void Union(int x, int y){
    int Fx = Find(x);
    int Fy = Find(y);
    if(Fx != Fy){ //判断连个元素是否属于一个树，若不是便把Fx设置成为Fy的父节点
        F[Fy] = Fx;
    }
}