先看一道基础题 HRBUST 2224
给定 n 个数组成的数组，求其逆序对的总数。
逆序对定义为，存在 (i, j) 满足 i < j 且 A[i] > A[j] 的二元组的数目。
接下来的一行，包含 n 个数（2 <= n <= 100000），依次表示 A[i](A[i] <= 10^9)。
简单的逆序对问题，很显然可以用树状数组或者归并排序解决，但是考虑到A的范围，常规的树状数组会采用离散化，tree存储前面比她小的数来解决。
这当然是没有问题的，但是这个题事实上是两个维度(pos,t),pos是一个显而易见的，t其实也是一个维度，也就是出现的顺序，逆序对事实上是要满足(pos1 < pos2 && t1 > t2)的对数，将问题转化为这样的二维来看，pos和t的地位就等同了，我们既然可以用树状数组求pos的前缀来计算逆序数对，当然也可以用t的前缀来计算逆序数对，在常规做法中，t从前向后遍历的时候是保证有序的，所以直接操作即可，当我们用树状数组来维护t的时候，我们就要事先对pos进行排序，此时所有比t小的数都是正常的，我们只要用t减去这些正常的就是这个数的逆序数对。
#include <map> #include <set> #include <cmath> #include <queue> #include <stack> #include <vector> #include <string> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <sstream> #include <iostream> #include <algorithm> #include <functional> using namespace std; const int MAXBUF=10000;char buf[MAXBUF],*ps=buf,*pe=buf+1; inline bool isdigit(const char& n) {return (n>='0'&&n<='9');} inline void rnext(){if(++ps==pe)pe=(ps=buf)+fread(buf,sizeof(char),sizeof(buf)/sizeof(char),stdin);} template <class T> inline bool in(T &ans){ #ifdef VSCode ans=0;T f=1;register char c; do{c=getchar();if ('-'==c)f=-1;}while(!isdigit(c)&&c!=EOF); if(c==EOF)return false;do{ans=(ans<<1)+(ans<<3)+c-48; c=getchar();}while(isdigit(c)&&c!=EOF);ans*=f;return true; #endif #ifndef VSCode ans =0;T f=1;if(ps==pe)return false;do{rnext();if('-'==*ps)f=-1;} while(!isdigit(*ps)&&ps!=pe);if(ps==pe)return false;do{ans=(ans<<1)+(ans<<3)+*ps-48; rnext();}while(isdigit(*ps)&&ps!=pe);ans*=f;return true; #endif }const int MAXOUT=10000; //*(int(*)[10])p char bufout[MAXOUT], outtmp[50],*pout = bufout, *pend = bufout+MAXOUT; inline void write(){fwrite(bufout,sizeof(char),pout-bufout,stdout);pout = bufout;} inline void out_char(char c){*(pout++)=c;if(pout==pend)write();} inline void out_str(char *s){while(*s){*(pout++)=*(s++);if(pout==pend)write();}} template <class T>inline void out_int(T x) {if(!x){out_char('0');return;} if(x<0)x=-x,out_char('-');int len=0;while(x){outtmp[len++]=x%10+48;x/=10;}outtmp[len]=0; for(int i=0,j=len-1;i<j;i++,j--) swap(outtmp[i],outtmp[j]);out_str(outtmp);} template<typename T, typename... T2> inline int in(T& value, T2&... value2) { in(value); return in(value2...); } #define For(i, x, y) for(int i=x;i<=y;i++) #define _For(i, x, y) for(int i=x;i>=y;i--) #define Mem(f, x) memset(f,x,sizeof(f)) #define Sca(x) scanf("%d", &x) #define Scl(x) scanf("%lld",&x); #define Pri(x) printf("%d ", x) #define Prl(x) printf("%lld ",x); #define CLR(u) for(int i=0;i<=N;i++)u[i].clear(); #define LL long long #define ULL unsigned long long #define mp make_pair #define PII pair<int,int> #define PIL pair<int,long long> #define PLL pair<long long,long long> #define pb push_back #define fi first #define se second #define Vec Point typedef vector<int> VI; const double eps = 1e-9; const int maxn = 1e6 + 10; const int INF = 0x3f3f3f3f; const int mod = 1e9 + 7; int N,M,tmp,K; PLL a[maxn]; LL tree[maxn]; int lowbit(int t){ return t & -t; } void add(int x){ while(x <= N){ tree[x]++; x += lowbit(x); } } LL query(int x){ LL s = 0; while(x > 0){ s += tree[x]; x -= lowbit(x); } return s; } int main() { in(N); For(i,1,N) in(a[i].fi) ,a[i].se = i; sort(a + 1,a + 1 + N); LL ans = 0; For(i,1,N){ ans += a[i].se - 1 - query(a[i].se); add(a[i].se); } Prl(ans); #ifdef VSCode write(); system("pause"); #endif return 0; }
上述的问题是一个二维问题，下面来看一个三维的问题 POJ1195
对一个平面进行m次操作
1 . 在(x,y)上增加或减少值x
2.查询(x1,y1) 与 (x2,y2)形成的矩形之间的和
显然，这又是一道二维树状数组的模板题，但是当x，y的范围给到1e9时，我们就需要进行离散化，当m的范围给到1e5时，我们就会发现离散化也不好使了，4e10的数组范围肯定是开不下的，这时候就要考虑另辟蹊径解决这道问题。
由上面的问题可以联想到，这依然是一个三维度的问题，(x，y，t)是问题的三个维度。当我们只有两个维度的时候，我们可以用树状数组来降一个维度，用排序默认一个维度，当三个维度时依然是用前缀和的思想来处理时，可以加上用cdq分治来维护第三个出现的维度。当我们用二位树状数组的时候，我们每次查询需要查询四个值来确认答案，当我们离线使用分治的时候，我们需要将四个值加入询问，离线排序之后来确定询问。
#include <map> #include <set> #include <cmath> #include <queue> #include <stack> #include <vector> #include <string> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <sstream> #include <iostream> #include <algorithm> #include <functional> using namespace std; const int MAXBUF=10000;char buf[MAXBUF],*ps=buf,*pe=buf+1; inline bool isdigit(const char& n) {return (n>='0'&&n<='9');} inline void rnext(){if(++ps==pe)pe=(ps=buf)+fread(buf,sizeof(char),sizeof(buf)/sizeof(char),stdin);} template <class T> inline bool in(T &ans){ #ifdef VSCode ans=0;T f=1;register char c; do{c=getchar();if ('-'==c)f=-1;}while(!isdigit(c)&&c!=EOF); if(c==EOF)return false;do{ans=(ans<<1)+(ans<<3)+c-48; c=getchar();}while(isdigit(c)&&c!=EOF);ans*=f;return true; #endif #ifndef VSCode ans =0;T f=1;if(ps==pe)return false;do{rnext();if('-'==*ps)f=-1;} while(!isdigit(*ps)&&ps!=pe);if(ps==pe)return false;do{ans=(ans<<1)+(ans<<3)+*ps-48; rnext();}while(isdigit(*ps)&&ps!=pe);ans*=f;return true; #endif }const int MAXOUT=10000; //*(int(*)[10])p char bufout[MAXOUT], outtmp[50],*pout = bufout, *pend = bufout+MAXOUT; inline void write(){fwrite(bufout,sizeof(char),pout-bufout,stdout);pout = bufout;} inline void out_char(char c){*(pout++)=c;if(pout==pend)write();} inline void out_str(char *s){while(*s){*(pout++)=*(s++);if(pout==pend)write();}} template <class T>inline void out_int(T x) {if(!x){out_char('0');return;} if(x<0)x=-x,out_char('-');int len=0;while(x){outtmp[len++]=x%10+48;x/=10;}outtmp[len]=0; for(int i=0,j=len-1;i<j;i++,j--) swap(outtmp[i],outtmp[j]);out_str(outtmp);} #define For(i, x, y) for(int i=x;i<=y;i++) #define _For(i, x, y) for(int i=x;i>=y;i--) #define Mem(f, x) memset(f,x,sizeof(f)) #define Sca(x) scanf("%d", &x) #define Scl(x) scanf("%lld",&x); #define Pri(x) printf("%d ", x) #define Prl(x) printf("%lld ",x); #define CLR(u) for(int i=0;i<=N;i++)u[i].clear(); #define LL long long #define ULL unsigned long long #define mp make_pair #define PII pair<int,int> #define PIL pair<int,long long> #define PLL pair<long long,long long> #define pb push_back #define fi first #define se second #define Vec Point typedef vector<int> VI; const double eps = 1e-9; const int maxn = 100110; const int maxq = 302000; const int INF = 0x3f3f3f3f; const int mod = 1e9 + 7; int N,M,tmp,K,op; int tree[maxn]; struct QUERY{ int x,y,t,op,w,id; }query[maxq]; inline int lowbit(int t) {return t & -t;} void add(int x,int val){ for(;x <= N;x += lowbit(x)){ tree[x] += val; } } int Query(int x){ int s = 0; for(;x > 0; x -= lowbit(x)){ s += tree[x]; } return s; } bool cmp(QUERY a,QUERY b){ if(a.x != b.x) return a.x < b.x; if(a.y != b.y) return a.y < b.y; return a.op < b.op; } int ans[maxq]; QUERY temp[maxq]; VI Q; void cdq(int l,int r){ if(l == r) return; int m = (l + r) >> 1; int l1 = l,l2 = m + 1; For(i,l,r){ if(query[i].t <= m && query[i].op == 1) add(query[i].y,query[i].w); if(query[i].t > m && query[i].op == 2) ans[query[i].id] += query[i].w * Query(query[i].y); // cout << query[i].id << " " << ans[query[i].id] << endl; } For(i,l,r){ if(query[i].t <= m && query[i].op == 1){ add(query[i].y,-query[i].w); } } For(i,l,r){ if(query[i].t <= m){ temp[l1++] = query[i]; }else{ temp[l2++] = query[i]; } } For(i,l,r){ query[i] = temp[i]; } cdq(l,m); cdq(m + 1,r); } int main() { in(tmp); in(N); int cnt = 0; int op; while(in(op)){ if(op == 1){ cnt++; in(query[cnt].x),in(query[cnt].y),in(query[cnt].w); query[cnt].t = cnt; query[cnt].op = 1; query[cnt].x++; query[cnt].y++; }else if(op == 2){ int x1,y1,x2,y2; in(x1);in(y1);in(x2);in(y2); x1++,x2++,y1++,y2++; int K = ++ans[0]; query[++cnt].x = x1 - 1; query[cnt].y = y1 - 1; query[cnt].t = cnt; query[cnt].op = 2,query[cnt].id = K;query[cnt].w = 1; query[++cnt].x = x2; query[cnt].y = y2; query[cnt].t = cnt; query[cnt].op = 2,query[cnt].id = K;query[cnt].w = 1; query[++cnt].x = x2; query[cnt].y = y1 - 1; query[cnt].t = cnt; query[cnt].op = 2,query[cnt].id = K;query[cnt].w = -1; query[++cnt].x = x1 - 1; query[cnt].y = y2; query[cnt].t = cnt; query[cnt].op = 2,query[cnt].id = K;query[cnt].w = -1; }else{ break; } } sort(query + 1,query + 1 + cnt,cmp); cdq(1,cnt); For(i,1,ans[0]){ Pri(ans[i]); } #ifdef VSCode write(); system("pause"); #endif return 0; }
由此问题发散下去，当我们遇到一个四维的问题时。
解决的方法是再加上一个cdq分治维护第四个维度。也就是cdq分治套cdq分治加上树状数组，每个询问加入8个查询。
解决这些问题的主要方法时观察出题目中给出的维度和隐藏的维度，例如逆序对中的t，然后如果这些维度符合前缀和的思想，也就是所有的操作有且仅有一次对后面的影响，就可以考虑用抽象的将其分离，考虑用降维的手段来解决。