支配树学习笔记

支配树学习笔记

看机房里都会了支配树，自己也学习了一下，去年没看懂，不知道为什么现在看起来还是蛮顺利的

下面给出几个链接，会有详细的证明，我就不详细说了

meowww

tarjan论文翻译

王梦迪的营员交流

证明建议看第一个，王梦迪的图比较丰富

如果你不想看证明，那么直接看下面的结论就行了

约定

支配点：如果把点 y 去掉，那么从源点将无法到达点 x，那么称 y 是 x 的支配点

最近支配点：点 x 的支配点有多个，除去平凡支配点（自己和源点），找到点 y 满足 y 是 x 的支配点且 x 的其他非平凡支配点都支配 y，称 y 为 x 的最近支配点，记作 (idom(x)=y)

将所有最近支配点向 x 连边形成的树，我们称之为支配树

我们现在将有向图 dfs 一遍并按照遍历顺序重新编号

半支配点：编号最小的 v 且存在一条路径 v -> x 满足除了 v 和 x，剩下的路径上的点编号都大于 x，记作 (sdom(x)=v)

重要结论

由 (sdom) 求 (idom)

令 (u) 为满足 (u) 是 (sdom(w) o w) 上不同于 (sdom(w)) 的一点，有

[large idom(w)=left{egin{matrix} sdom(w) &&(sdom(u)=sdom(w))\ idom(u) &&(sdom(u)<sdom(w)) end{matrix} ight. ]

求 (sdom)

第一种情况，(sdom(w) = v)，要求有边直接从 (v) 连到 (w) 且 (v < w)

第二种情况，(sdom(w) = sdom(u)(u > w))，要求存在点 (v) 有边从 (v) 到 (w)

具体实现

这里只说一点（可能只有我有问题）就是不能用自己更新 idom 而用父亲更新的原因是自己的值不能影响到下面的后代，而用父亲是父亲的 sdom 还是本身所以没事

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
int read(void) {
	int x = 0; char c = getchar();
	while (!isdigit(c)) c = getchar();
	for (;isdigit(c);c=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);
	return x;
}

const int N = 2050000;
int n, m, tot, cnt;
int fa[N], dfn[N], id[N];
int val[N];
int h[N], ne[N<<1], to[N<<1];
int f[N], sdom[N], pre[N];

void add(int *h,int x,int y) {
	to[++tot] = y;
	ne[tot] = h[x], h[x] = tot;
}

 
void dfs(int x,int fr) {
	dfn[x] = ++cnt, id[cnt] = x;
	fa[x] = fr;
	for (int i = h[x]; i; i = ne[i]) 
		if (!dfn[to[i]]) dfs(to[i], x);
}

int find(int x) {
	if (x == f[x]) return x;
	int rt = find(f[x]);
	if (dfn[sdom[val[f[x]]]] < dfn[sdom[val[x]]]) 
	val[x] = val[f[x]];
	return f[x] = rt;
}
int lat[N], idom[N], ans[N], cdy[N];

void put(int *a,int n) {
	for (int i = 1;i <= n; i++) 
		cout << a[i] << ' ';
	cout << endl;
}

void tarjan(void) {
	for (int i = cnt;i >= 2; i--) {
		int x = id[i];
		for (int j = pre[x]; j; j = ne[j]) {
			int y = to[j];
			if (!dfn[y]) continue;
			find(y);
			if (dfn[sdom[val[y]]] < dfn[sdom[x]])
				sdom[x] = sdom[val[y]];
		}
		add(lat, sdom[x], x);
		f[x] = fa[x], x = fa[x];
		for (int j = lat[x]; j; j = ne[j]) {
			int y = to[j]; find(y);
			if (sdom[val[y]] == x) idom[y] = x;
			else idom[y] = val[y];
		}
		lat[x] = 0;
	}
	for (int i = 2;i <= cnt; i++) {
		int x = id[i];
		if (idom[x] != sdom[x]) idom[x] = idom[idom[x]];
	}
}

void get_ans(int x) {
	ans[x] = 1;
	for (int i = cdy[x]; i; i = ne[i]) {
		int y = to[i];
		get_ans(y); ans[x] += ans[y];
	}
}

int main() {
	n = read(), m = read();
	for (int i = 1;i <= m; i++) {
		int x = read(), y = read();
		add(h, x, y), add(pre, y, x);
	}
	for (int i = 1;i <= n; i++) 
		sdom[i] = f[i] = val[i] = i;
	dfs(1, 0); tarjan();
	tot = 0;
	for (int i = 2;i <= n; i++) 
		if (idom[i]) add(cdy, idom[i], i);
	get_ans(1);
	for (int i = 1;i <= n; i++) printf ("%d ", ans[i]);
	return 0;
}