没有用的话qaq :
Ummmm…图论的大部分知识本来早就有学过，只是一直没有写成博文来梳理，但既然上了qbxt DP图论就写一篇来总结下，主要是来听DP的，但…由于太菜的原因，DP听得天花乱坠QWQ
一，最小生成树的定义
一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。 ——百度百科
二，最小生成树算法
顾名思义，连通图图中求出图中最小生成树的算法叫做最小生成树算法，分为Prim和Kruskal两种
1,Prim(普利姆算法)
a.将所有点分为两个集合，一个集合代表已加入最小生成树点的集合S，另一个集合代表没有加入最小生成树的点的集合T
b.计算T集合中的点到达S集合的最短距离，du =min<u,v>∈E,v∈S{wu,v}
c.选取集合T中到达S集合中距离最小的一个点，加入S集合，并更新T集合中其它点到S集合的距离。
d.重复上述过程，直到所有点都被选入了最小生成树，每次加入的边即是最小生成树的边
正确性证明：
Prim 是一个基于贪心的算法，可以采用归纳法和反证法证明其正确性。
首先证明第一条选中的边e1 一定包含在某最优解方案中，如果最优解中不包含边e1，则加入e1 一定会出现环，且环上存在比e1 大的边，用e1 替换之答案更优，假设最优解包含前k 个选中的边，e1, e2, . . . , ek，则类似地可证明ek+1 存在于最优解中
运用归纳法，Prim 算法得到的n − 1 条边构成最优解（摘自yousiki课件）。
简单来说就是每次选择一条最短的边保证了最小生成树距离最短，并且不产生环。
朴素算法的复杂度较劣，我们可以采取在选择最短边时可以采用堆优化（优先队列），将其复杂度优化为O((n+m)logn)。
带堆优化代码
inline void prim(int s)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
dist[i]=INF,vis[i]=false;
heap.push(make_pair(0,s));
vis[s]=true;
while(!heap.empty())
{
int p=heap.top().second;
if(!vis[p]) ans+=-1*heap.top().first;
heap.pop();
if(vis[p]) continue;
vis[p]=true;
for(int i=first[p];i;i=edge[i].nxt)
{
int e=edge[i].ed,d=edge[i].len;
if(dist[e]>dist[p]+d)
{
dist[e]=dist[p]+d;
heap.push(make_pair(-dist[e],e));
}
}
}
}
在堆优化后，prim的复杂度仍较高，一般不采用，但Prim在一类给定N个点（N的范围较大）没有给边，求从某点出发经过所有点后的最短距离的题目中占优，若要采用Kruskal算法就需要建成一个完全图，建图的时间复杂度为O（n^2）,显然不优，Prim的优势在于，不需要建成一个完全图，可以边做边在更新集合T到集合S的距离时计算边的距离。
2，Kruskal（克鲁斯卡尔算法）
其主要采用了贪心的思想和并查集的维护，我们如果想在图中找出一个最小生成树的话，贪心的想，肯定要先选择最短的边（显然，因为最小生成树嘛），但就这样一条一条选择最短的边知道选到n-1一条为止吗，显然不对，因为我们选择的三条边可能形成环，有环显然不优，所以我们就用并查集维护一下，如果一条边的起点和终点的祖宗一样，即已经联通，我们就不能加，因为显然对于联通的两个点之间再加一条边就会形成环，否则，这条边就可以选择。
不懂并查集戳这里
算法复杂度 O(mlogm)
代码实现比Prim要简单
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct node
{
int s,e,d;
};
node edge[2333];
int ans,f[2333],n,m,cnt;
inline bool cmp(node x,node y)
{
return x.d<y.d;
}
inline int find(int k)
{
if(f[k]==k) return f[k];
return f[k]=find(f[k]);
}
inline void kruskal()
{
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int f1=find(edge[i].s);
int f2=find(edge[i].e);
if(f1!=f2)
{
cnt++;
ans+=edge[i].d;
f[f1]=f2;
}
if(cnt==n-1) break;
}
return;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;++i)
scanf("%d%d%d",&edge[i].st,&edge[i].ed,&edge[i].d);
for(int i=1;i<=n;++i)
f[i]=i;
sort(edge+1,edge+m+1,cmp);
kruskal();
printf("%d",ans);
return 0;
}//看看就好，打了打而已，不保证能过编译Orz QwQ
图论最小生成树算法中，我们经常采用Kruskal，因为它的效率较高
三，最大生成树：反过来就好
写在最后，Yousiki Orz Orz