（一）拉普拉斯变换

该系列为DR_CAN动态系统的建模与分析系列视频笔记，详见https://space.bilibili.com/230105574
由于笔者水平有限，文中难免存在一些不足和错误之处，诚请各位批评指正。

1 定义

拉普拉斯变换（英语：Laplace transform）是应用数学中常用的一种积分变换，又名拉氏转换，其符号为 (mathcal{L}{f(t)}) 。拉氏变换是一个线性变换，可将一个有实数变量 (t (t>0)) 的函数转换为一个变量为复数的 (s) 函数：

[F(s)=int_{0}^{infty} f(t) e^{-s t} mathrm{d} t\其中：s=sigma+i omega quad sigma和 omega为实数 ]

2 电路的例子

分析这个电路系统的输入（电压）与输出（电流）的关系，实际上就需要我们对这个微分方程进行求解。如果我们用一个系统框图来表示，这个变化过程 (g(t)) 就包含着这个系统的特征，也就是微分方程所包含的内容。通过对 (e'(t)) 与 (g( t )) 进行卷积运算可以得到 (i(t)) 。但这样分析和计算都相对复杂，这时我们就需要借助拉普拉斯变换，将微分方程转换成代数方程、卷积运算转换为乘法运算。

对时域函数 (f(t)) 做拉普拉斯变换的公式如下图中表示，这将二维平面上的曲线变换为了三维复空间中的曲面。当我们沿观察 (sigma) 轴观察 (F(s)Ojomega) 平面，即 (sigma = 0) 时，图像就变成了在虚轴上的一条曲线，而拉普拉斯变换就变成了另一个我们熟悉形式，也就是傅里叶变换。

而当我们沿着 (F(s)) 轴观察 (sigma O jomega) 平面时，我们往往会关注图像也就是这个系统的极点与零点，进而对系统进行分析。

3 指数函数的例子

4 性质

• 线性：

• 积分与导数的拉普拉斯变换：

其中，导数的拉普拉斯变换推导如下：

一般情况下我们将系统的初始条件设置为0，因此 (f(0) = 0) 即可忽略。

5 回到电路的例子

通过拉普拉斯变换，我们可以对刚刚电路系统的微分方程进行变换：

经过整理可得：

这样一来，我们就把一个微分方程转换成了一个仅含有加减乘除的代数方程。

其中：

就是所谓的系统传递函数。