[BZOJ4818][SDOI2017]序列计数(动规+快速幂)

4818: [Sdoi2017]序列计数

Time Limit: 30 Sec  Memory Limit: 128 MB
Submit: 972  Solved: 581
[Submit][Status][Discuss]

Description

Alice想要得到一个长度为n的序列，序列中的数都是不超过m的正整数，而且这n个数的和是p的倍数。Alice还希望

，这n个数中，至少有一个数是质数。Alice想知道，有多少个序列满足她的要求。

Input

一行三个数，n,m,p。

1<=n<=10^9,1<=m<=2×10^7,1<=p<=100

Output

一行一个数，满足Alice的要求的序列数量，答案对20170408取模。

Sample Input

3 5 3

Sample Output

33

HINT

Source

鸣谢infinityedge上传

[Submit][Status][Discuss]

水题，同[六省联考2017 组合数问题]。

首先套用上题做法，我想到的是f[i][j][0/1]表示前i个数总和%p=j的（不必须/必须有质数）的方案数，那么有转移状态：

f[i+j][(x+y)%p][0]+=f[i][x][0]*f[j][y][0]

f[i+j][(x+y)%p][1]+=f[i][x][1]*f[j][y][0]+f[i][x][0]*f[j][y][1]-f[i][x][1]*f[j][y][1]

这个可能是可以矩乘优化的但由于0和1互相转移所以比较麻烦。

那么我们考虑答案就是总方案数-不包含质数的方案数。

f[i][j]表示前i个数总和%p=j的方案数，g[i][j]表示前i个数（不包含质数）总和%p=j的方案数，这两个转移互不影响。

这样我们线性筛出m以内的质数，问题就完全变成上面那道题了。

$O(m+p^2log n)$复杂度竟然能过？光一个线性筛搞不好就超了吧。。常数有点玄学啊，还是要敢写。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
using namespace std;

const int N=210,M=20000100,mod=20170408;
bool b[M];
int n,m,p,tot,c[N],f[N],g[N],F[N],G[N],pr[5000100];

void pre(){
    for (int i=2; i<=m; i++){
        if (!b[i]) pr[++tot]=i;
        for (int j=1; j<=tot && pr[j]*i<=m; j++){
            int t=pr[j]*i; b[t]=1;
            if (i%pr[j]==0) break;
        }
    }
}

void mul(int a[],int b[]){
    rep(i,0,p) c[i]=0;
    for (int i=0; i<p; i++) for (int j=0; j<p; j++) c[(i+j)%p]=(c[(i+j)%p]+1ll*a[i]*b[j])%mod;
    rep(i,0,p) a[i]=c[i];
}

int main(){
    freopen("count.in","r",stdin);
    freopen("count.out","w",stdout);
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&p); pre();
    F[0]=G[0]=1; b[1]=1;
    rep(i,1,m) f[i%p]=(f[i%p]+1)%mod,g[i%p]=(g[i%p]+b[i])%mod;
    for (; n; mul(f,f),mul(g,g),n>>=1)
        if (n & 1) mul(F,f),mul(G,g);
    printf("%d
",(F[0]-G[0]+mod)%mod);
    return 0;
}