5109: [CodePlus 2017]大吉大利,晚上吃鸡!
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最近《绝地求生:大逃杀》风靡全球,皮皮和毛毛也迷上了这款游戏,他们经常组队玩这款游戏。在游戏中,皮皮和毛毛最喜欢做的事情就是堵桥,每每有一个好时机都能收到不少的快递。当然,有些时候并不能堵桥,皮皮和毛毛会选择在其他的必经之路上蹲点。K博士作为一个老年人,外加有心脏病,自然是不能玩这款游戏的,但是这并不能妨碍他对这款游戏进行一些理论分析,比如最近他就对皮皮和毛毛的战士很感兴趣。【题目描述】游戏的地图可以抽象为一张n个点m条无向边的图,节点编号为1到n,每条边具有一个正整数的长度。假定大魔王都会从S点出发到达T点(S和T已知),并且只会走最短路,皮皮和毛毛会在A点和B点埋伏大魔王。为了保证一定能埋伏到大魔王,同时又想留大魔王一条生路,皮皮和毛毛约定A点和B点必须满足:1.大魔王所有可能路径中,必定会经过A点和B点中的任意一点2.大魔王所有可能路径中,不存在一条路径同时经过A点和B点K博士想知道,满足上面两个条件的A,B点对有多少个,交换A,B的顺序算相同的方案Input
第一行输入四个整数n,m,S,T(1≤n≤5×10^4,1≤m≤5×10^4,1≤S,T≤n),含义见题目描述。接下来输入m行,每行输入三个整数u,v,w(1≤u,v≤n,1≤w≤10^9)表示存在一条长度为w的边链接u和v。1≤n≤5×10^4,1≤m≤5×10^4,1≤w≤10^9Output
输出一行表示答案Sample Input
7 7 1 7
1 2 2
2 4 2
4 6 2
6 7 2
1 3 2
3 5 4
5 7 2Sample Output
6
【样例 1 解释】
合法的方案为 < 2, 3 >, < 2, 4 >, < 4, 3 >, < 4, 5 >, < 6, 3 >, < 6, 5 > 。HINT
来自 CodePlus 2017 11 月赛,清华大学计算机科学与技术系学生算法与竞赛协会 荣誉出品。Credit:idea/陈宇 命题/陈宇 验题/邢健开Git Repo:https://git.thusaac.org/publish/CodePlus201711本次比赛的官方网址:cp.thusaac.org感谢腾讯公司对此次比赛的支持。
题目简述
给定一张有边权(边权全为正)的无向图, $n$ 个点 $m$ 条边,给定起点 $S$ 和终点 $T$ ,问有多少对 $A$ 和 $B$ 满足从 $S$ 到 $T$ 的任意最短路一定经过 $A$ 或者 $B$ ,但是不存在某条最短路同时经过 $A$ 和 $B$ 。
解法一
首先是最暴力的解法,枚举任意点对 $A$ 和 $B$ ,然后删掉 $A$ 和 $B$ ,看看最短距离是否会变长,然后查看 $dis(S, A) + dis(A, B) + dis(B, T)$ 是否和 $dis(S, T)$ 相等,其中 $dis(X, Y)$ 表示原图中点 $X$ 到 $Y$ 的最短距离,由此可以判断枚举的 $A$ 和 $B$ 是否是合法的点对。
其中, $dis(X, Y)$ 可以用floyd求解
时间复杂度: $O left(n3
ight)$
期望得分: $30$
解法二
首先,虽然题目中给定的是无向图,但是实际上我们可以先从 $S$ 出发求一遍最短路,然后问题变成了:“在有向无环图上,求有多少个满足条件的点对 $A,B$ ,满足从 $S$ 到 $T$ 的所有路径一定经过 $A,B$ 其中一点,并且不存在路径同时经过 $A,B$ ”。
求解这到题目的一个关键点在于: 满足条件的点对 $A,B$ 具有特点:从 $S$ 到 $A$ 的方案数 $ imes$ 从 $A$ 到 $T$ 的方案数 + 从 $S$ 到 $B$ 的方案数 $ imes$ 从 $B$ 到 $T$ 的方案数 $=$ 从 $S$ 到 $T$ 的方案数。
所以在有向无环图上用动态规划求解路径条数,再去掉 $A$ 可以到达 $B$ 或 $B$ 可以到达 $A$ 的情况即可求解这到题目。
PS:方案数可能会爆掉怎么办?可以对方案数求余一个大整数,如果觉得不够的话可以求余两个大整数。
时间复杂度: $O left(n2+nm
ight)$
期望得分: $60$
解法三
在解法二中,定义 $F(X) = $ 从 $S$ 到 $X$ 的方案数 $ imes$ 从 $X$ 到 $T$ 的方案数 = 从 $S$ 经过 $X$ 到达 $T$ 的方案数,所以满足条件的点对 $A,B$ 为:
$F(A) + F(B) = F(T)$
$A$ 和 $B$ 不能相互到达
对于条件 $1$ ,我们可以使用数据结构进行优化(使用std::map即可),而对于条件 $2$ ,我们可以使用 bitset 位压 $32$ 或者 $64$ 位进行加速,使得最终时间和空间都能够承受。
时间复杂度: $Oleft(n log{n}+frac{nm}{w}
ight)$,其中 $w$ 是位压的字长。
期望得分: $100$
题解已经说的很清楚了,标算是hash+压位实现,但是考场上没时间写的话,就用map代替hash,用bitset代替压位,当然代价是常数大了好多倍。
这里说一下传递闭包
所谓传递性,可以这样理解:对于一个节点i,如果j能到i,i能到k,那么j就能到k。求传递闭包,就是把图中所有满足这样传递性的节点都弄出来,计算完成后,我们也就知道任意两个节点之间是否相连。
传递闭包的计算过程一般可以用Warshell算法描述:
For 每个节点i Do
For 每个节点j Do
If j能到i Then
For 每个节点k Do
a[j, k] := a[j, k] Or ( a[j, i] And a[ i, k] )
其中a数组为布尔数组,用来描述两个节点是否相连,可以看做一个无权图的邻接矩阵。可以看到,算法过程跟Floyd很相似,三重循环,枚举每个中间节点。只不过传递闭包只需要求出两个节点是否相连,而不用求其间的最短路径长。
上面的方法可以求出任意两个点是否连通,不过点数不多的时候一般我们可以压位或者bitset,然后就成了:
(实际上是lnk[i][e[j].s]但是可以将数组压缩成一维,也就是:)
rep(i,1,n-1) for (int j=1; j<=cnt; j++) lnk[e[j].s]|=lnk[e[j].t];
这样后面的按照题解做就好了。代码还是比较繁琐的。
1 #include<map> 2 #include<queue> 3 #include<bitset> 4 #include<cstdio> 5 #include<algorithm> 6 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++) 7 typedef long long ll; 8 using namespace std; 9 10 const int N=50010; 11 int n,m,u,v,w,cnt,S,T,h[N]; 12 struct E{ int to,nxt,w; }e[N<<1]; 13 queue<int> Q; 14 int vis[N],iT[N]; ll dis[N],rdis[N]; 15 16 void add(int x,int y,int z){ 17 e[++cnt]=(E){y,h[x],z}; h[x]=cnt; 18 e[++cnt]=(E){x,h[y],z}; h[y]=cnt; 19 } 20 21 void spfa(ll dis[],int S){ 22 rep(i,1,n) dis[i]=1ll<<60,vis[i]=0; 23 Q.push(S); vis[S]=1; dis[S]=0; 24 while (!Q.empty()){ 25 int x=Q.front(); Q.pop(); vis[x]=0; 26 for (int i=h[x],k; i; i=e[i].nxt) 27 if (dis[k=e[i].to]>dis[x]+e[i].w){ 28 dis[k]=dis[x]+e[i].w; 29 if (!vis[k]) vis[k]=1,Q.push(k); 30 } 31 } 32 } 33 34 namespace G{ 35 int h[N],rh[N],d[N],rd[N],cnt; 36 ll f[N],g[N]; 37 queue<int>Q; 38 bitset<N>lnk[N],rlnk[N]; 39 map<ll,bitset<N> >M; 40 struct E{ int s,t,nxt; }e[N<<2]; 41 42 void add(int x,int y){ 43 e[++cnt]=(E){x,y,h[x]}; h[x]=cnt; d[y]++; 44 e[++cnt]=(E){y,x,rh[y]}; rh[y]=cnt; rd[x]++; 45 } 46 47 ll solve(){ 48 f[S]=1; g[T]=1; Q.push(S); 49 while (!Q.empty()){ 50 int x=Q.front(); Q.pop(); 51 for (int i=h[x]; i; i=e[i].nxt){ 52 f[e[i].t]+=f[x]; 53 if (!(--d[e[i].t])) Q.push(e[i].t); 54 } 55 } 56 Q.push(T); 57 while (!Q.empty()){ 58 int x=Q.front(); Q.pop(); 59 for (int i=rh[x]; i; i=e[i].nxt){ 60 g[e[i].t]+=g[x]; 61 if (!(--rd[e[i].t])) Q.push(e[i].t); 62 } 63 } 64 rep(i,1,n) lnk[i].set(i),rlnk[i].set(i); 65 rep(i,1,n-1) for (int j=1; j<=cnt; j+=2) lnk[e[j].s]|=lnk[e[j].t]; 66 rep(i,1,n-1) for (int j=2; j<=cnt; j+=2) rlnk[e[j].s]|=rlnk[e[j].t]; 67 rep(i,1,n) M[1ll*f[i]*g[i]].set(i); 68 ll res=0; 69 rep(i,1,n){ 70 if (!M.count(f[T]-f[i]*g[i])) continue; 71 res+=(M[f[T]-f[i]*g[i]] & (~lnk[i]) & (~rlnk[i])).count(); 72 } 73 return res>>1; 74 } 75 } 76 77 int main(){ 78 freopen("bzoj5109.in","r",stdin); 79 freopen("bzoj5109.out","w",stdout); 80 scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&S,&T); 81 rep(i,1,m) scanf("%d%d%d",&u,&v,&w),add(u,v,w); 82 spfa(dis,S); spfa(rdis,T); 83 rep(i,1,n) if (dis[i]+rdis[i]==dis[T]) iT[i]=1; 84 rep(x,1,n) if (iT[x]) 85 for (int i=h[x]; i; i=e[i].nxt) 86 if (dis[e[i].to]==dis[x]+e[i].w && iT[e[i].to]) G::add(x,e[i].to); 87 printf("%lld ",G::solve()); 88 return 0; 89 }