CodeVS 1039-数的划分

原题

题目描述 Description

将整数n分成k份，且每份不能为空，任意两种划分方案不能相同(不考虑顺序)。
例如：n=7，k=3，下面三种划分方案被认为是相同的。
1 1 5

1 5 1

5 1 1
问有多少种不同的分法。

输入描述 Input Description

n，k (6<n<=200，2<=k<=6)

输出描述 Output Description

一个整数，即不同的分法。

样例输入 Sample Input

 7 3

样例输出 Sample Output

4

数据范围及提示 Data Size & Hint

 {四种分法为：1，1，5;1，2，4;1，3，3;2，2，3;}

题意

求自然数N分成K份的方案数。

题解

这是一道十分经典的划分型DP题。

首先定义数组F，用F_i,j表示数字i被分为j份的方案数。

则可以推出状态转移方程f[i,j]=f[i-j,j]+f[i-1,j-1]，具体解释：

1、f[i-j,j]表示的是将i分为不包含1的方案的总个数，例如，4(=7-3)分成3份可以分为{1,1,2}，则7可以分为{1+1,1+1,2+1}->{2,2,3}【共1种【注意下划线部分

2、f[i-1,j-1]表示的是将i分为最小值为1的方案的总个数，例如，6(=7-1)分成2(=3-1)份可以分为{1,5}{2,4}{3,3},则7可以分为{1,5,1}{2,4,1}{3,3,1}【共3种

3、所以f[7,3]=f[4,3]+f[6,2]=1+3=4

推出方程这道题也就解决了，下面代码：

var a,f:array[-100..200,0..10] of longint;
var i,j,n,k:longint;
begin
  readln(n,k);
  for i:=1 to n do
  begin
    f[i,1]:=1;
    for j:=2 to k do f[i,j]:=f[i-j,j]+f[i-1,j-1];
  end;
  writeln(f[n,k]);
end.

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