December Challenge 2020 Division 1

完成情况：
Even Pair Sum(12.5)
Positive Prefixes(12.5)
Hail XOR(12.5)
Calculus
String Operations(12.6)
Square Root of LCA Convolution(12.8)
Permutations
Linear Combination
Digit Matrix
Palindromic Equivalence

技不如人...爬了爬了

这场其实质量挺高的，由于Calculus心态崩了后面完全没打出水平

不知道出题人是有多**出个积分的题...

这个题的数据也出的**，一天内有原来四百多的AC到六百多...

由于没打好，就只讲讲不会做的题了

Linear Combination

首先不看互不相同的条件
选出任意一个(a_k eq 0)（一般的，我们令(k=n)）
对于(sumlimits_{i=1}^n a_ix_iequiv 0(mod~p))的解，相当于(sumlimits_{i eq n-1}a_ix_iequiv -a_nx_n(mod~p))
对于任意一组({x_1,x_2,cdots ,a_{n-1}}(x_i eq x_j))，都有且仅有一个(x_n)与之对应
但现在(x_n)可能与(x_i(i eq n))相等，我们考虑将两合并
(a_1x_1+a_2x_2+cdots+a_{i-1}x_{i-1}+a_{i+1}x_{i+1}cdots a_{n-1}x_{n-1}+(a_i+a_n)x_nequiv 0(mod~p))
受这个启发：

令(f_S)：钦定({i|i otin S})集合缩成一个变量，系数为(sumlimits_{i otin S}a_i)，同(S)中的变量的解个数
令(T={i|i otin S})

• 若(T)的系数不为(0)
  则(S)中的变量任意选择，(T)都有且仅有一个(x)与之对应，但需减去(S)中存在变量与(T)变量相同的情况
  (f_S=p^{underline{|S|}}-sumlimits_{xin S}f_{Sackslash x})
• 若(T)的系数为(0)
  (T)的变量如何选择并影响不了和，这个变量有(p-|S|)种选择；对于剩下(S)中的抉择，为(f_{Sackslash x}(forall xin S))
  (f_S=(p-|S|)f_{Sackslash x}(forall xin S))

复杂度(O(n2^n))

Palindromic Equivalence

考虑建图：若(s_{l,r})为回文串，将(l,r)两点合并；若(s_{l,r})为回文串且(s_{l-1,r+1})不为回文串，那么(l-1)与(r+)连边

然后就相当于每个点有权值，一个独立集的权值为点权之积
求独立集权值之和
具体来说，点(u)若其代表了(x)个位置，其权值为(f_u=2^x-1)

结论：该图为弦图

证明：
我们来证明若对于(i<j<k)，满足(i)与(k)有连边，(i)与(j)有连边，则要么(j,k)也有连边，要么(j,k)是处于同一合并点
(i,k)有连边，(i,j)有连边
则(s_{i+1,k-1},s_{i+1,j-1})是回文串
故(s_{k-j+i+1,k-1})也为回文串；(j,k-j+i)处于同一合并点（(s_j=s_{k-j+i})）
若(s_{k-j+i}=s_k)，那么(j,k)处于同一合并点
若(s_{k-j+i} eq k)，那么(k-j+i,k)有连边，则(j,k)有连边
故很容易证明该图为弦图

我们考虑建出团树，每个团点显然最多选择一个点
令(C_u)表示团点(u)的点集，令(T_v)表示团点(v)在团树中的儿子节点
令(none_u)为团点(u)内不选择任何点，令(chosen_{u,x})为团点(u)内选择点(x)
转移：

[none_u=prodlimits_{vin T_u}(none_v+sumlimits_{xin C_v-C_u}chosen_{v,x}) ]

[chosen_{u,x}=f_xcdot prodlimits_{vin T_u,xin C_v}frac{chosen_{v,x}}{f_x}prodlimits_{vin T_u,x otin C_v}(none_v+sumlimits_{yin C_v-C_u}chosen_{v,y}) ]

复杂度(O(n^2))