题意
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6706
思考
打表出奇迹。
注意到这个式子有一大堆强条件限制，最后化为：
$$frac{1}{2}sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}{|i-j|*[(i,j)==1]}$$
考虑莫比乌斯反演：
$$sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}{|i-j|}$$
$$=sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}{|i-j|}sum_{d|i,d|j}{mu(d)}$$
$$=sum_{d=1}^{n}{mu(d)*d*sum_{i=1}^{frac{n}{d}}sum_{j-1}^{frac{n}{d}}1}$$
$$=sum_{d=1}^{n}{mu(d)*d*F(frac{n}{d})}$$
F是容易计算的。也就是说，我们要算出$sum_{d=1}^{n}{mu(d)*d}$在根号个点处的前缀和。杜教筛即可。
对于小于等于$10^6$的情况，线性筛预处理。
代码
1 #pragma GCC optimize 2 2 #include<bits/stdc++.h> 3 #define mod 1000000007 4 #define G2 500000004 5 #define G3 333333336 6 #define G6 166666668 7 using namespace std; 8 typedef long long int ll; 9 const int maxn=1E6+5; 10 ll T,n,m; 11 ll size,prime[maxn],mu[maxn],sum[maxn]; 12 ll F[maxn],f[maxn]; 13 int TOT; 14 int used[maxn]; 15 bool vis[maxn]; 16 ll sqr,what[maxn]; 17 inline int where(int x) 18 { 19 return x<=sqr?x:n/x+sqr; 20 } 21 int gcd(int x,int y) 22 { 23 if(y==0) 24 return x; 25 return x%y==0?y:gcd(y,x%y); 26 } 27 inline ll qpow(ll x,ll y) 28 { 29 ll ans=1,base=x; 30 while(y) 31 { 32 if(y&1) 33 ans=ans*base%mod; 34 base=base*base%mod; 35 y>>=1; 36 } 37 return ans; 38 } 39 inline ll G(ll m) 40 { 41 return (m*m%mod*(m-1)%mod-m*(m-1)%mod*(2*m-1)%mod*G3%mod+mod)%mod; 42 } 43 void init() 44 { 45 mu[1]=1; 46 f[1]=1; 47 F[1]=1; 48 for(int i=2;i<=1000000;++i) 49 { 50 if(!vis[i]) 51 prime[++size]=i,mu[i]=-1,f[i]=i-1; 52 for(int j=1;j<=size&&prime[j]*i<=1000000;++j) 53 { 54 vis[prime[j]*i]=1; 55 mu[prime[j]*i]=-mu[i]; 56 f[prime[j]*i]=f[i]*f[prime[j]]%mod; 57 if(i%prime[j]==0) 58 { 59 mu[prime[j]*i]=0; 60 f[prime[j]*i]=f[i]*prime[j]%mod; 61 break; 62 } 63 } 64 F[i]=(F[i-1]+f[i]*(ll)i%mod)%mod; 65 } 66 for(int i=1;i<=1000000;++i) 67 sum[i]=sum[i-1]+mu[i]*(ll)i; 68 } 69 void small() 70 { 71 cout<<(F[n]-1+mod)*G2%mod<<endl; 72 } 73 ll calc(ll n) 74 { 75 if(used[where(n)]==TOT) 76 return what[where(n)]; 77 if(n<=1000000) 78 return what[where(n)]=sum[n]; 79 ll g=1; 80 for(ll l=2,r;l<=n;l=r+1) 81 { 82 r=n/(n/l); 83 g=(g-(r-l+1)*(r+l)%mod*G2%mod*calc(n/l)%mod+mod)%mod; 84 } 85 used[where(n)]=TOT; 86 return what[where(n)]=g; 87 } 88 inline ll getsum(int x) 89 { 90 if(x<=1000000) 91 return sum[x]; 92 return what[where(x)]; 93 } 94 void big() 95 { 96 ++TOT; 97 sqr=sqrt(n+0.5); 98 ll GG=calc(n); 99 ll ans=0; 100 for(int l=1,r;l<=n;l=r+1) 101 { 102 r=n/(n/l); 103 ans=(ans+(getsum(r)-getsum(l-1)+mod)*G(n/l)%mod)%mod; 104 } 105 cout<<ans*G2%mod<<endl; 106 } 107 void solve() 108 { 109 ll a,b; 110 cin>>n>>a>>b; 111 if(n<=1000000) 112 small(); 113 else 114 big(); 115 } 116 int main() 117 { 118 ios::sync_with_stdio(false); 119 init(); 120 cin>>T; 121 while(T--) 122 solve(); 123 return 0; 124 }