poj1190 生日蛋糕（深搜+剪枝）

题目链接：poj1190 生日蛋糕

解题思路：

深搜，枚举：每一层可能的高度和半径

确定搜索范围：底层蛋糕的最大可能半径和最大可能高度

搜索顺序：从底层往上搭蛋糕，在同一层尝试时，半径和高度都是从大到小试

剪枝：

①已建好的面积已经超过目前求得的最优表面积，或者预见到搭完后面积一定会超过目前最优表面积，则停止搭建（最优性剪枝）

②预见到再往上搭，高度已经无法安排，或者半径无法安排，则停止搭建（可行性剪枝）

③还没搭的那些层的体积，一定会超过还缺的体积，则停止搭建（可行性剪枝）

④还没搭的那些层的体积，最大也到不了还缺的体积，则停止搭建（可行性剪枝）

看讨论时看见了一个神剪枝：当2 * leftVolume / r + currentS >= min停止搜索
currentS代表“已有的圆柱的侧面积之和+最底下圆柱的横截面面积”。min代表已得到的最小表面积。
假设只有一个圆柱，该圆柱的半径为r,体积为leftVolume，可知：2 * leftVolume/r 表示圆柱的侧面积。
现在我们有2个圆柱，要求这两个圆柱叠在一起之后满足题目的条件：下柱半径>上柱半径。把上柱压扁，压到和下柱的半径相等，那么根据表面积和体积公式，我们知道上柱的侧面积会减小。
多个圆柱叠立，假设最下面圆柱半径最大，该半径为r。于是，这些圆柱的侧面积之和>=等体积的半径为r的圆柱的侧面积。
假设还有k层柱要搜索，leftVolume是剩余体积，r是第k层的圆柱的最大可能半径。那么2*leftVolume/r<=k层圆柱的最小侧面积之和。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define CLR(a,b) memset((a),(b),sizeof(a))
using namespace std;

const int inf = 0x3f3f3f3f;
int ans; //最优表面积
int area; //正在搭建中的蛋糕的表面积
int N, M;//体积N,层数M
int minv[21]; //第i层蛋糕最少的体积
int mins[21]; //第i层蛋糕的最少侧表面积

int maxV(int n, int r, int h){
    //在n层蛋糕，底层最大半径r,最高高度h的情况下，能凑出来的最大体积
    int v = 0;
    for(int i = 0; i < n; ++i)
        v += (r - i) * (r - i) * (h - i);
    return v;
}
void dfs(int v, int n, int r, int h){
    //用n层去凑体积v，最底层半径最大为r, 高度最大为 h
    //求出最小表面积放入ans
    if(n == 0){
        if(v == 0 && area < ans){
            ans = area;
            return;
        }
    }
    if(v <= 0) return;

    if((2*v*1./r+area)>=ans) return;
    if(area + mins[n] >= ans ) return;
    if(h < n || r < n) return;
    if(v < minv[n]) return;
    if(maxV(n, r, h) < v) return;
    for(int rr = r ; rr >= n; --rr){//从大到小搜索!
        if(n == M) //底面积(总的上表面积)
            area = rr * rr;
        for(int hh = n; hh <= h; ++hh){
            area += 2 * rr * hh;
            dfs(v - rr*rr*hh, n-1, rr-1, hh-1);
            area -= 2 * rr * hh;
        }
    }
}
int main(){
    int i, j;
    int maxh;//底层最大高度
    int maxr;//底层最大半径
    scanf("%d %d", &N, &M);

    CLR(minv, 0); CLR(mins, 0);

    for(i = 1; i <= M; ++i){
        //第i层半径至少为i，，高度至少为i
        minv[i] = minv[i - 1] + i * i * i;
        mins[i] = mins[i - 1] + 2 * i * i;
    }
    if(minv[M] > N){
        printf("0
"); return 0;
    }
    area = 0;
    ans = inf;
    //底层体积不超过(n - minv[m - 1])
    maxh = (N - minv[M - 1]) / (M * M) + 1; //底层半径至少为 m
    maxr = sqrt(1.*(N - minv[M-1]) / M) + 1;//底层高度至少为 m

    dfs(N, M, maxr, maxh);

    if(ans == inf) printf("0
");
    else printf("%d
", ans);
    return 0;
}