URAL题解三

URAL题解三

URAL 1045

题目描述：有(n)个机场，(n-1)条航线，任意两个机场有且只有一种方案联通。现有两个恐怖分子从(m)号机场出发，第一个人在机场安装炸弹，乘坐飞机，引爆炸弹，在另一个机场降落，然后到第二人做一样的事，轮流做，直到某个人做不到就输。一个机场炸了后，任何与它相连的航线都不复存在。问第一个人能不能赢，如果能，则输出他第一个要飞到的机场，如果不能则输出First player loses

solution
博弈论，输赢状态的搜索。
时间复杂度：(O(n))

URAL 1046

题目描述：在平面上有一个多边形，顶点坐标为(A_i)(顺时针)，在多边形的每条边的外侧作一个点(M_i)，使得(M_i)与对应边的两个点组成一个等腰三角形(对应边为底边)，给出(M_i)和对应三角形顶角的角度(alpha _i)，求(A_i)。

solution
一开始不知道等腰有什么用，下意识就想去几何关系了。后来才想到：如果把(M_i)看成圆心，腰看成半径，那对应边的两个点都在圆上，也就是说，这两个点可以通过绕着(M_i)旋转一定角度得到，而这个角度就是(alpha _i)。列出两条方程，发现未知数都是一次方的，可以用高斯消元解出所有未知数。
时间复杂度：(O((2n)^3))

URAL 1047

题目描述：有(n+2)个数，(a_0, a_1, ..., a_{n+1}), 当(1 leq i leq n)时，(a_i=(a_{i-1}+a_{i+1})/2-c_i)，给出(a_0, a_{n+1}, c_i)，求(a_1)。

solution
一开始我又蠢蠢地去推公式，想直接算出答案。后来从问的结果得到灵感：不是只要求(a_1)吗？如果我能将(a_{n+1})与(a_0, a_1)的关系递推出来，问题就解决了。整理一下公式

[a_i=2(a_{i-1}+c_{i-1})-a_{i-2} ]

把每个(a_i)都表示为(a_i=pa_0+qa_1+m)，最终就可以求出(a_{n+1})，解出答案。
时间复杂度：(O(n))

URAL 1048

题目描述：给出两个(n)位数，求两个数的和。

solution
高精度，只是要注意一定要输出(n)位。
时间复杂度：(O(n))

URAL 1049

题目描述：给出(10)个数，求这(10)个数的乘积的因数个数的个位。

solution
设(10)个数的乘积的质因子有(m)个，每个质因子有(s_i)个，那么因数个数就是(prod_{i=1}^m (s_i+1))。所以把这(n)个数的质因子个数统计一下即可。
时间复杂度：(O(10sigma(10^4)))

URAL 1050

题目描述：给出很多段落，每个段落进行如下处理：从左到右找出双引号(")对（不一定相邻），将前一个双引号变成两个左单引号(`)，将后一个双引号变成两个右单引号(')，如果不成一对，则删去单独的双引号。注意：()后面紧接着的非字母字符串中的双引号不作处理（即找双引号时将其忽略）。
输出最终的段落。

solution
本来想一边读入一边处理，后来发现这样太恶心了，干脆就将它们一次过全部读进来，再对不同段落，是否结束，是否忽略进行判断，这样就舒服多了。
时间复杂度：(O(总长度))

URAL 1051

题目描述：有一个无限网格，其中有一个(n*m)的石头矩形，石头放在网格中。现在可以任选一个石头，如果它四相邻的某个格子上有石头，则它可以往该方向跳两格，吃掉（移走）越过的石头，任意时刻一个格子中不能有多个石头。问最终最少剩下多少个石头。

solution
假设(n leq m)，当(n<3)时，显然答案是((m+1)/2)。
当(n)或(m)为(3)的倍数，则按下图进行处理：

所以答案是2.
当(n>3)且(n)不是(3)的倍数时，
先处理(4*4, 5*5, 4*5)

其它情况先三个三个地消除（像最上面第一个图），最后消成(4)或(5)行，然后用下面两个方法消列，最终变成(4*4)或(5*5)或(4*5)

所以答案是1.

URAL 1052

题目描述：在平面上有(n)个点，在平面上随意画一条直线，问最多穿过多少个点。

solution
两点确定一条直线，枚举两个点，再统计有多少个点在线上。
时间复杂度：(O(n^3))