动态规划 所有题型的总结

1 动态规划

1.1 定义

动态规划的核心是状态和状态转移方程。

在记忆化搜索中，可以为正在处理的表项声明一个引用，简化对它的读写操作；

动态规划解决的是多阶段决策问题；

初始状态→│决策１│→│决策２│→…→│决策ｎ│→结束状态

和分治法最大的区别在于：适合于用动态规划的问题，经过分解以后得到的子问题往往不是相互独立的（即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的基础之上，进行进一步的求解，而不是相互独立的问题）

动态规划问题一般由难到易分为一维动态规划，二维动态规划，多维动态规划，以及多变量动态规划问题。其中多维动态规划问题又可以进行降维。动态规划问题求解的最重要的一步就是求解出 状态转移方程

1.2 特性

• 最优化原理：如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，就称该问题具有最优子结构，即满足最优化原理.
• 无后效性：即某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。也就是说，某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关
• 有重叠子问题：即子问题之间是不独立的，一个子问题在下一阶段决策中可能被多次使用到。（该性质并不是动态规划适用的必要条件，但是如果没有这条性质，动态规划算法同其他算法相比就不具备优势，动态规划可以避免多次计算）

1.3 例子

还是做题最实在!

1.3.1 最长公共子序列

问题描述：给定两个序列：X[1...m]和Y[1...n]，求在两个序列中同时出现的最长子序列的长度。

如果按照最普通的方法，就是遍历所有可能的情况（将较短字符串中所有的子串和较长字符串中的子串进行比较），取所有可能的情况中最长的子串；

int DP::LongestCommonSubsequence(string &X, string &Y, int m, int n) {
    if (m == 0 || n == 0) {
        return 0;
    }

    if (X[m-1] == Y[n-1]) {
        return LongestCommonSubsequence(X, Y, m-1, n-1) + 1;
    }
    else {
        return max(LongestCommonSubsequence(X, Y, m-1, n), LongestCommonSubsequence(X, Y, m, n-1));
    }
}

void DP::testLongestCommonSubstring() {
    string x = "abcdefg", y = "efg";
    int result = LongestCommonSubsequence(x, y, (int)x.size(), (int)y.size());
    cout << "result:" << result;
}

很显然，这花费的时间是指数级的，非常慢；

那么采用动态规划是怎么做的？

思路：我们可以想象成树，两个字符串都分别进行发散，对于一个结点来说，左边是左边的字符串进行改变，右边则是右边的字符串进行改变，直到两个字符串都相等。

• 第一步应该是找出递推公式：

这里的 C[i,j] 代表的意思是字符串 X 中到达下标 i 和字符串 Y 中到达下标 j 的时候的最长子串个数；

• 第二步是写出伪代码

LCS(x,y,i,j)
	if x[i] = y[j]
		then C[i,j] ← LCS(x,y,i-1,j-1)+1
		else C[i,j] ← max{LCS(x,y,i-1,j),LCS(x,y,i,j-1)}
	return C[i,j]

• 最后是写出代码

上面的伪代码对于每一种情况都会往前重新计算一遍，完全没有必要，用一个数组保存之前计算的值即可；

int DP::LongestCommonSubsequence(string &X, string &Y, int m, int n) {
    vector<vector<int>> dp(X.size() + 1, vector<int>(Y.size() + 1, 0));
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            // 因为是从1开始的，所以字符串下标要减去1
            if (X[i-1] == Y[j-1]) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
            }
            else {
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
            }
        }
    }

    return dp[m][n];
}

void DP::testLongestCommonSubsequence() {
    string x = "abcdefg", y = "efg";
    int result = LongestCommonSubsequence(x, y, (int)x.size(), (int)y.size());
    cout << "result:" << result;
}

看看dp数组：

 0 0 0 0 0 0
 0 1 1 1 1 1
 0 1 2 2 2 2
 0 1 2 3 3 3
 0 1 2 3 3 3
 0 1 2 3 3 3
 0 1 2 3 4 4
 0 1 2 3 4 5

参考文章
动态规划（Dynamic Programming）

1.3.2 最长公共子串

和上面最长公共子序列不同的是，子串要求连续，不像子序列只要顺序保证是正确的就行了，所以使用一个变量来记录；

/**************************************
 * // 最长公共子串问题
 ***************************************/
int DP::LongestCommonSubstring(string &X, string &Y, int m, int n) {
    vector<vector<int>> dp(X.size() + 1, vector<int>(Y.size() + 1, 0));
    int max = 0;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            // 因为是从1开始的，所以字符串下标要减去1
            if (X[i-1] == Y[j-1]) {
                if (dp[i-1][j-1]) {
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
                }
                else {
                    dp[i][j] = 1;
                }

                if (dp[i][j] > max) {
                    max = dp[i][j];
                }
            }
        }
    }

    for (int i = 0; i <= m; i++) {
        for (int j = 0; j <= n; j++) {
            cout << " " << dp[i][j];
        }
        cout << endl;
    }

    return max;
}

void DP::testLongestCommonSubstring() {
    string x = "abcdefg", y = "abcfg";
    int result = LongestCommonSubstring(x, y, (int)x.size(), (int)y.size());
    cout << "result:" << result << endl;
}

看看dp数组：

 0 0 0 0 0 0
 0 1 0 0 0 0
 0 0 2 0 0 0
 0 0 0 3 0 0
 0 0 0 0 0 0
 0 0 0 0 0 0
 0 0 0 0 1 0
 0 0 0 0 0 2

可以发现，对角线上连续大于0的值则为长度；最长的子串为abc，长度为3，次长为fg，长度为2；

1.3.3 最长递增子序列

问题描述：给定一个序列：X[1...m]，求在这个序列中出现的最长递增子序列的长度。

/**************************************
 * // 最长递增子串问题
 ***************************************/
int DP::LongestIncreasingSubstring(string &X, int m) {
    vector<int> dp(X.size(), 0);
    int max = 0;

    for (int i = 0; i < m; i++) { //到达
        dp[i] = 1;
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (X[i] > X[j]) {
                dp[i] = dp[j] + 1;
            }
            else { //因为是连续的，所以只要不符合就重置
                dp[i] = 1;
            }
        }
    }

    for (int i = 0; i < m; i++) {
        cout << " " << dp[i];
        if (dp[i] > max) {
            max = dp[i];
        }
    }
    cout << endl;

    return max;
}

void DP::testLongestIncreasingSubstring() {
    string x = "babcak";
    int result = LongestIncreasingSubstring(x, (int)x.size());
    cout << "result:" << result << endl;
}

1.3.4 矩阵链乘积

题目描述

给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2…，n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。

思路

对于矩阵连乘问题，最优解就是找到一种计算顺序，使得计算次数最少；

假设 dp[i, j] 表示第 i 个矩阵到达第 j 个矩阵这段的最优解；

将矩阵连乘积 简记为A[i:j] ，这里i<=j.假设这个最优解在第k处断开，i<=k<j，则A[i:j]是最优的，那么A[i,k]和A[k+1:j]也是相应矩阵连乘的最优解。把i到j分成两部分，看哪种分法乘的次数最少，而k就是i到j中断开的部分，也就是两个括号中间的部分；

• 状态转移方程

当i=j时，A[i,j]=Ai, m[i,j]=0;(表示只有一个矩阵,如A1,没有和其他矩阵相乘,故乘的次数为0)

当i<j时，m[i,j]=min{m[i,k]+m[k+1,j] +pi-1*pk*pj} ,其中 i<=k<j

也就是

实现

/**************************************
 * // 矩阵链乘积，求最小乘积次数
 ***************************************/
void DP::MatrixChainMultiplication(vector<int> data, int n,vector<vector<int>>& m_dp, vector<vector<int>>& s_dp) {
    //矩阵段长度为1,则 dp[][] 中对角线的值为0,表示只有一个矩阵,没有相乘的.
    for(int i = 1;i<=n;i++)
        m_dp[i][i] = 0;

    // 从第二个开始（第一个也是0），当前的乘次数取决于下一个的乘次数
    // 对角线循环，r表示矩阵的长度(2,3…逐渐变长)
    for(int r = 2;r<=n;r++) {
        // 行循环
        for(int i = 1; i<=n-r+1; i++) {
            // 列的控制，当前矩阵段(Ai~Aj)的起始为Ai,尾为Aj
            int j = r+i-1;

            //例如对(A2~A4),则i=2,j=4,下面一行的m[2][4] = m[3][4]+p[1]*p[2]*p[4],即A2(A3A4)
            m_dp[i][j] = m_dp[i+1][j] + data[i-1]*data[i]*data[j]; //计算次数

            s_dp[i][j] = i;//记录断开点的索引

            //循环求出(Ai~Aj)中的最小数乘次数，遍历所有可能的情况
            for(int k = i+1 ; k<j;k++) {
                //将矩阵段(Ai~Aj)分成左右2部分(左m[i][k],右m[k+1][j])
                //再加上左右2部分最后相乘的次数(p[i-1] *p[k]*p[j])
                int t = m_dp[i][k] + m_dp[k+1][j] + data[i-1] *data[k]*data[j];

                if(t < m_dp[i][j]) {
                    m_dp[i][j] = t;
                    s_dp[i][j] = k;  //保存最小的,即最优的结果
                }
            }
        }
    }
}

void DP::testMatrixChainMultiplication() {
    vector<int> data = {30,35,15,5,10,20,25};//记录6个矩阵的行和列，注意相邻矩阵的行和列是相同的
    vector<vector<int>> m_dp(7, vector<int>(7, 0));//存储第i个矩阵到第j个矩阵的计算代价（以乘法次数来表示）
    vector<vector<int>> s_dp(7, vector<int>(7, 0));//存储第i个矩阵到第j个矩阵的最小代价时的分为两部分的位置
    int n=6;//矩阵个数
    MatrixChainMultiplication(data, n , m_dp, s_dp);

    cout << "---计算代价---" << endl;
    for (int i = 0; i < m_dp.size(); i++) {
        for (int j = 0; j < m_dp[0].size(); j++) {
            cout << " " << m_dp[i][j];
        }
        cout << endl;
    }

    cout << "---最小代价时分为两边的位置" << endl;
    for (int i = 0; i < s_dp.size(); i++) {
        for (int j = 0; j < s_dp[0].size(); j++) {
            cout << " " << s_dp[i][j];
        }
        cout << endl;
    }
}

运行结果为：

---计算代价---
 0 0 0 0 0 0 0
 0 0 15750 7875 9375 11875 15125
 0 0 0 2625 4375 7125 10500
 0 0 0 0 750 2500 5375
 0 0 0 0 0 1000 3500
 0 0 0 0 0 0 5000
 0 0 0 0 0 0 0
---最小代价时分为两边的位置
 0 0 0 0 0 0 0
 0 0 1 1 3 3 3
 0 0 0 2 3 3 3
 0 0 0 0 3 3 3
 0 0 0 0 0 4 5
 0 0 0 0 0 0 5
 0 0 0 0 0 0 0

表示第i个矩阵到第j个矩阵的计算代价矩阵m[i][j]和表示第i个矩阵到第j个矩阵的最小代价时的分为两部分的位置矩阵s[i][j]的结果如下图：

从上面左图的m矩阵可以看出任意第i个到第j个矩阵连乘的乘法次数。最终的加括号形式为：（A1(A2A3))((A4A5)A6)

参考文章
【算法导论】
动态规划之矩阵链乘法
0010算法笔记——【动态规划】矩阵连乘问题

1.3.5 数塔问题

问题描述：

数塔第i层有i个结点，要求从顶层走到底层，若每一步只能走到相邻的结点，则经过的结点的数字之和最大是多少？

用二维数组则为：

9
12	15
10	6	8
2    18	9	5
19	7	10	4	16

假设9首先被输入，是第 0 层，越往下层数不断递增；

思路

为了保证整条路径的和是最大的，下一层的走向取决于再下一层上的最大值是否已经求出才能决定，所以要做一个自顶向下的分析，自底向上的计算；

• 状态转移方程

dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]) + data[i][j]

dp[i+1][j] 为左结点，dp[i+1][j+1] 为右结点；

实现

/**************************************
 * // 数塔问题
 ***************************************/
int DP::MaxSumTower(vector<vector<int>> nums, int m, int n) {
    vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));

    // 用底层的值来初始化dp，m为行，n为列
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        dp[m-1][i] = nums[m-1][i];
    }

    // 自底向上，父结点的最大值取决于左结点或者右结点的最大值
    for (int i = m-2; i >= 0; i--) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (i >= j) { //过滤多余的
                dp[i][j] = std::max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]) + nums[i][j];
            }
        }
    }

    for (int i = 0; i < m; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            cout << " " << dp[i][j];
        }
        cout << endl;
    }

    return dp[0][0];
}

1.3.6 01背包问题

题目描述

有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

思路

dp[x][y] 表示体积不超过 y 且可选前 x 种物品的情况下的最大总价值

递归关系：

• mp[0][y] = 0
• mp[x][0] = 0
• 当 v[x] > y 时，mp[x][y] = mp[x-1][y]
• 当 v[x] <= y 时，mp[x][y] = max{ mp[x-1][y], p[x] + mp[x-1][y-v[x]] }

解释如下：

• 表示体积不超过 y 且可选前 0 种物品的情况下的最大总价值，没有物品可选，所以总价值为 0
• 表示体积不超过 0 且可选前 x 种物品的情况下的最大总价值，没有物品可选，所以总价值为 0
• 因为 x 这件物品的体积已经超过所能允许的最大体积了，所以肯定不能放这件物品， 那么只能在前 x-1 件物品里选了
• x 这件物品可能放入背包也可能不放入背包，所以取前两者的最大值就好了， 这样就将前两种情况都包括进来了

实现

/**************************************
 * // 01背包问题
 ***************************************/
int DP::ZeroOneBackpack(vector<Goods> goods, int limit_weight) {
    int m = goods.size();
    int n = limit_weight;
    vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));

    // 没有选择物品的时候价值为0
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        dp[0][i] = 0;
    }

    // 重量为0的时候什么物品都选不了，价值自然也为0
    for (int i = 1; i < m; i++) {
        dp[i][0] = 0;
    }

    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (goods[i-1].weight > j) { //超出限制的重量
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
            }
            else { //可能放入背包也可能不放入背包，取两者情况的最大值
                dp[i][j] = std::max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - goods[i-1].weight] + goods[i-1].value);
            }
        }
    }

    for (int i = 0; i < m; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            cout << " " << dp[i][j];
        }
        cout << endl;
    }

    return dp[m][n];
}

void DP::testZeroOneBackpack() {
    vector<Goods> goods;
    goods.emplace_back(0, 0);
    goods.emplace_back(60, 10);
    goods.emplace_back(100, 20);
    goods.emplace_back(120, 30);
    int result = ZeroOneBackpack(goods, 50);
    cout << "result:" << result << endl;
}

1.3.7 最大连续子序列之和

问题描述：给定一个序列：X[1...m]，求在这个序列中出现的最大的连续子序列之和。

• 状态转移方程

dp[i] = std::max(dp[i-1] + nums[i], nums[i]);

• 实现

/**************************************
 * // 最大连续子序列和
 ***************************************/
int DP::MaxContinusSubsequenceSum(int* nums, int m) {
    vector<int> dp(m, 0);
    int max = INT_MIN;

    dp[0] = nums[0];
    for (int j = 1; j < m; j++) {
        dp[j] = std::max(dp[j-1] + nums[j], nums[j]);
    }

    for (int i = 0; i < m; i++) {
        cout << " " << dp[i];
        if (dp[i] > max) {
            max = dp[i];
        }
    }
    cout << endl;

    return max;
}

void DP::testMaxContinusSubsequenceSum() {
    int data[] = {
            1,-2,3,-1,7
    };

    int result = MaxContinusSubsequenceSum(data, 5);
    cout << "result:" << result << endl;
}