• 题解-JSOI2011 分特产


    题面

    JSOI2011 分特产

    (n) 个不同的盒子和 (m) 种不同的球,第 (i) 种球有 (a_i) 个,用光所有球,求使每个盒子不空的方案数。

    数据范围:(1le n,m,a_ile 1000)


    蒟蒻语

    今天做了几道黑题,蒟蒻的做法非常蒟蒻,看上去很厉害其实很废,巨佬的做法是容斥,秒杀一切。

    所以蒟蒻拿这道水题讲讲自己的做法。希望巨佬教蒟蒻容斥 ( t /kel)


    蒟蒻解

    看到盒子不能空,先二项式反演。

    (f(i)) 表示 (i) 个盒子空,剩下非空的方案数;(g(i)) 表示 (i) 个盒子空,剩下随意。

    [g(i)=sum_{x=i}^n {xchoose i}f(x)Longleftrightarrow f(i)=sum_{x=i}^n{xchoose i}(-1)^{x-i}g(x) ]

    然后考虑 (g(i)) 怎么求:因为 (n-i) 个可以空可以不空,所以可以构造生成函数:

    [left(prod_{j=1}^m(1+x_j+x_j^2+x_j^3+cdots) ight)^{n-i} ]

    (g(i)) 就等于 (prod_{j=1}^mx_j^{a_j}) 的项数。

    所以可以每个 (x_j) 分开来考虑,用隔板法,得出:

    [g(i)={nchoose i}prod_{j=1}^m{a_j+n-i-1choose n-i-1} ]

    然后答案就是(当 (x=n)(n-x-1=-1),所以结果为 (0),不需要枚举):

    [f(0)=sum_{x=0}^{n-1}(-1)^{x}{nchoose x}prod_{j=1}^m{a_j+n-x-1choose n-x-1} ]


    代码

    跟巨佬的代码是一样的,只不过推导过程不同。

    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    
    //Start
    typedef long long ll;
    typedef double db;
    #define mp(a,b) make_pair(a,b)
    #define x first
    #define y second
    #define be(a) a.begin()
    #define en(a) a.end()
    #define sz(a) int((a).size())
    #define pb(a) push_back(a)
    const int inf=0x3f3f3f3f;
    const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
    
    //Data
    const int N=1e3,T=N<<1;
    const int mod=1e9+7;
    int n,m,a[N],c[T+1][T+1];
    int g(int x){
        int res=c[n][x];
        for(int i=0;i<m;i++)
            res=(ll)res*c[a[i]+n-x-1][n-x-1]%mod;
        return res;
    }
    
    //Main
    int main(){
        ios::sync_with_stdio(0);
        cin.tie(0),cout.tie(0);
        cin>>n>>m;
        for(int i=0;i<=T;i++){
            c[i][0]=c[i][i]=1;
            for(int j=1;j<=i-1;j++)
                c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
        }
        for(int i=0;i<m;i++) cin>>a[i];
        int ans=0;
        for(int i=0;i<n;i++){
            if(i&1) (ans+=mod-g(i))%=mod;
            else (ans+=g(i))%=mod;
        }
        cout<<ans<<'
    ';
        return 0;
    }
    

    祝大家学习愉快!

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/George1123/p/13373984.html
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