题解-Roman and Numbers

题解-Roman and Numbers

前置知识：

数位 ( exttt{dp}) </>

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(color{#9933cc}{ exttt{Roman and Numbers}})

给定 (n) 和 (m)，求将 (n) 的各位数字重新排列（不允许有前导 (0)），求可以构造几个能被 (m) 整除。

数据范围：(1le nle 10^{18})，(1le mle 100)。

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用数位 ( exttt{dp}) 代码又短时间又优又好理解，为什么没人玩呢？

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把 (n) 的各位数字拿出来排序一下，然后把每个数有没有用过状压。

for(;n;n/=10) d.pb(n%10);
sort(d.begin(),d.end()),len=d.size();

选数字的时候只允许用相同数字中第一个没用过的。

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( exttt{Dfs}) 中：

1. (w)：要找从右往左第几位。
2. (st)：当前数字使用状态。
3. (sum)：左 (len-w) 位数字形成的数 (mod m) 的余数。

il lng Dfs(re int w,re int st,re int sum){
	if(!w) return sum==0;//判断被 m 整除
	if(~f[st][sum]) return f[st][sum];
	re lng res=0;
	for(re int i=0;i<len;i++)
		if(!((1<<i)&st)&&(i==0||d[i]!=d[i-1]||((1<<(i-1))&st))) //*
			res+=Dfs(w-1,st|(1<<i),(sum*10+d[i])%m);
	return f[st][sum]=res; //记忆化，记录答案
}

其中 (*) 处的判断：

1. 该数字未用过。
2. 该数字前的相同数字都用过。

以保证使用顺序，防止重复统计。

关于 (f) 记忆化数组：

现在是 (f_{st,sum})，本来应该是 (f_{w,st,sum})。这里就讲讲 (f_{w,st,sum}) 记忆化的缺点：

1. (1le wle 18)，(1le stle 2^{18})，(1le sum<mle 100)，必然 (color{#117}{ exttt{MLE}})。
2. (st) 中 (1) 的数量 (cnt) 必然满足 (cnt=len-w)，所以只记录 (st) 不会重合答案。

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时间复杂度 (Theta(2^{len}m))。

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Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//&Start
#define re register
#define il inline
#define mk make_pair
#define pb push_back
#define db double
#define lng long long
#define fi first
#define se second
#define inf 0x3f3f3f3f

//&Data
const int W=18,M=100;
int m,len;
lng n,f[1<<W|7][M|7];
vector<int> d;

//&Digitdp
il void Pre(){memset(f,-1,sizeof f);}
il lng Dfs(re int w,re int st,re int sum){
	if(!w) return sum==0;
	if(~f[st][sum]) return f[st][sum];
	re lng res=0;
	for(re int i=0;i<len;i++)
		if(!((1<<i)&st)&&(i==0||d[i]!=d[i-1]||((1<<(i-1))&st)))
			res+=Dfs(w-1,st|(1<<i),(sum*10+d[i])%m);
	return f[st][sum]=res;
}
il lng DP(){
	for(;n;n/=10) d.pb(n%10);
	sort(d.begin(),d.end()),len=d.size();
	re lng res=0;
	for(re int i=0;i<len;i++)
		if(d[i]&&(i==0||d[i]!=d[i-1])) // 这里也要判断！这是最容易错的地方
			res+=Dfs(len-1,1<<i,d[i]%m);
	return res;
}

//&Main
int main(){
	scanf("%lld%d",&n,&m),Pre();
	printf("%lld
",DP());
	return 0;
}

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祝大家学习愉快！