一个长度为 $n$ 的不确定序列,每个数在 $[1,n]$ 之间。给出 $m$ ,求所有序列的 $prod_{i=1}^{n-m+1}w[ ext{Max}_{j=i}^{j+m-1}a[j]]$ 的总和,即对所有序列求每个长度为 $m$ 的子区间的最大值乘积之和。答案对 $998244353$ 取模。
$mle nle 400$ 。
题解
dp
设 $f[i][j]$ 表示长度为 $i$ 的序列,每个数都在 $[1,j]$ 之间的所有序列每个长度为 $m$ 的子区间最大值乘积之和。
那么如果这个序列没有出现过 $j$ ,则有 $f[i][j]=f[i][j-1]$ 。
如果这个序列出现过 $j$ ,那么考虑枚举 $j$ 从左到右第一个出现的位置 $k$ ,所有包含 $k$ 的区间最大值都为 $j$ 。令包含 $k$ 的长度为 $m$ 的子区间个数为 $c$ ,则 $k$ 的贡献为 $v[j]^c$ 。左面没有出现过 $j$ ,贡献为 $f[k-1][j-1]$ ;右面可能还会出现 $j$ ,贡献为 $f[i-k][j]$ 。
故总的dp方程为:$f[i][j]=sumlimits_{k=1}^iv[j]^{c[i][k]}·f[k-1][j-1]·f[i-k][j]$ ,其中 $c[i][k]$ 表示长度为 $i$ 的区间的所有长度为 $m$ 的子区间中包含位置 $k$ 的个数,可以预处理出来也可以分类讨论。
答案为 $f[n][n]$ 。
注意边界问题:当区间长度 $i$ 小于 $m$ 时,贡献就是 $序列个数 imes 1=j^i$ 。
预处理幂次,时间复杂度 $O(n^3)$
#include <cstdio> #include <algorithm> #define N 410 #define mod 998244353 using namespace std; typedef long long ll; ll w[N] , p[N][N] , c[N][N] , f[N][N]; int main() { int n , m , i , j , k; scanf("%d%d" , &n , &m); for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) { scanf("%lld" , &w[i]) , p[i][0] = 1; for(j = 1 ; j <= n ; j ++ ) p[i][j] = p[i][j - 1] * w[i] % mod; } for(i = 0 ; i <= n ; i ++ ) f[0][i] = 1; for(i = 1 ; i < m ; i ++ ) for(j = 0 ; j <= n ; j ++ ) f[i][j] = f[i - 1][j] * j % mod; for(i = m ; i <= n ; i ++ ) for(j = 1 ; j <= i - m + 1 ; j ++ ) for(k = j ; k < j + m ; k ++ ) c[i][k] ++ ; for(i = m ; i <= n ; i ++ ) { for(j = 1 ; j <= n ; j ++ ) { f[i][j] = f[i][j - 1]; for(k = 1 ; k <= i ; k ++ ) f[i][j] = (f[i][j] + f[k - 1][j - 1] * f[i - k][j] % mod * p[j][c[i][k]]) % mod; } } printf("%lld " , f[n][n]); return 0; }